高校数学の解き方

高校数学の教科書や大学入試の問題を解いてみます。簡潔で分かりやすい解答で、模範解答に近いものを目指します。

数学(理系)の第4問(2018東京大学入試)

         第 4 問

 a \gt 0 \; とし、

             f(x)=x^3-3a^2x

とおく。次の\; 2 \; 条件をみたす点\; (a,\; \; b) \; の動きうる範囲を求め、座標平面上に図示せよ。

 条件\; 1 \; : \; 方程式\; f(x)=b \; は相異なる\; 3 \; 実数解をもつ。

 条件\; 2 \; : \; さらに、方程式\; f(x)=b \; の解を\; \alpha \lt \beta \lt \gamma \; とすると\; \beta \gt 1 \; である。

解答

f'(x)=3x^2-3a^2=3(x+a)(x-a) \;

\; \; \; x \cdots -a \cdots \; \; \; a \cdots
f'(x) \; + \; \; 0 \; - \; \; \; 0 \; +
f(x) \nearrow \; 2a^3\; \searrow -2a^3\; \nearrow

(図は省略)

条件\; 1 \; より f(-a)=-a^3+3a^3=2a^3 \gt b,\; \; f(a)=a^3-3a^3=-2a^3 \lt b

また、条件\; 2 \; より -a \lt \beta \lt a \; で、\beta \gt 1 \; だから a \gt 1

さらに、-a \lt 0 \; だから、\alpha \lt -a \lt 1 \lt \beta \; より f(1)=1-3a^2 \gt b

したがって、これらをみたす点\; (a,\; \; b) \; の動きうる範囲は

y \gt -2x^3,\; \; y \lt 2x^3,\; \; y \lt -3x^2+1,\; \; x \gt 1

の共通部分で、境界線は含まない。(図は省略)

 

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