高校数学の解き方

高校数学の教科書や大学入試の問題を解いてみます。簡潔で分かりやすい解答で、模範解答に近いものを目指します。

数学(理系)の第5問(2018東京大学入試)

         第 5 問

 複素数平面上の原点を中心とする半径\; 1 \; の円を\; C \; とする。点\; \mathrm{P}(z) \; \; C \; 上にあり、点\; \mathrm{A}(1) \; とは異なるとする。点\; \mathrm{P} \; における円\; C \; の接線に関して、点\; \mathrm{A} \; と対称な点を\; \mathrm{Q}(u) \; とする。\displaystyle w=\frac{1 }{\; 1-u \; } \; とおき、w \; と共役な複素数\; \overline{w} \; で表す。

(1)\; \; u \; \displaystyle \; \frac{\; \overline{w} \; }{w } \; \; z \; についての整式として表し、絶対値の商\displaystyle \; \frac{\; | \; w+\overline{w}-1 \; | \; }{| \; w \; | } \; を求めよ。

(2)\; \; C \; のうち実部が\displaystyle \; \frac{\; 1 \; }{2 } \; 以下の複素数で表される部分を\; C' \; とする。点\; \mathrm{P}(z) \; \; C' \; 上を動くときの点\; \mathrm{R}(w) \; の軌跡を求めよ。

解答

(1) \; 原点を\; \mathrm{O},\; i\; を表す点を\; \mathrm{B}\; とする。また、|z|=1\; より\; |z|^2=z\overline{z}=1\; から\; \overline{z}=\displaystyle \frac{1}{z}

\; \mathrm{A}(1)\; を原点\; \mathrm{O}\; を中心として\; \angle \mathrm{POB}\; だけ反時計回りに回転した点は \; \displaystyle \frac{i}{z}

この点を虚軸方向に\; -i \; だけ平行移動した点は \; \displaystyle \frac{i}{z}-i

この点を実軸について対称移動した点は \; \displaystyle \overline{\; \frac{i}{z}-i\; }=\frac{-i}{\overline{z}}+i=-iz+i

この点を虚軸方向に\; i\; だけ平行移動した点は-iz+i+i=-iz+2i

この点を原点\; \mathrm{O}\; を中心として\; \angle \mathrm{BOP}\; だけ時計回りに回転した点が\; \mathrm{Q}(u)\; だから

\displaystyle u=(-iz+2i) \times \frac{z}{i}=-z^2+2z

また \displaystyle \; w=\frac{1}{1-u}=\frac{1}{1-(-z^2+2z)}=\frac{1}{(1-z)^2}

\displaystyle \; \overline{w}=\overline{\frac{1}{(1-z)^2}}=\frac{1}{(1-\overline{z})^2}=\frac{1}{(1-\frac{1}{z})^2}=\frac{z^2}{(1-z)^2}

\displaystyle \frac{\overline{w}}{w}=z^2

よって \displaystyle \; \frac{\; | \; w+\overline{w}-1 \; | \; }{| \; w \; | } \; =\Bigg| \frac{\; \; w+\overline{w}-1 \; \; }{\; w \; } \Bigg| \; =\Bigg| 1+\frac{\overline{w}}{w} -\frac{1}{w} \Bigg|

            \; =\big| 1+z^2-(1-z)^2\big| =|2z|=2|z|=2

(2)\; \; \mathrm{P}(z) \; \; C' \; 上を動くとき、z \; の実部は\displaystyle \; \; \frac{z+\overline{z}}{2}\; \; だから

\displaystyle -1 \leqq \frac{z+\overline{z}}{2} \leqq \frac{1}{2}

また、w=x+y\; i\; \; (\; x,\; y\; は実数 )とする。

\displaystyle x=\frac{w+\overline{w}}{2}=\frac{1}{2}\left\{ \frac{1}{(1-z)^2} + \frac{1}{(1-\overline{z})^2} \right\} =\frac{(1-\overline{z})^2+(1-z)^2}{2\{(1-z)(1-\overline{z})\}^2}

       \displaystyle =\frac{(z+\overline{z})^2-2(z+\overline{z})}{2\{(z+\overline{z})-2\}^2}=\frac{z+\overline{z}}{2(z+\overline{z}-2)}=\frac{1}{2\big(1-\frac{2}{z+\overline{z}}\big)}

よって \displaystyle -\frac{1}{2} \leqq x \leqq \frac{1}{4}

\displaystyle \; \frac{\; | \; w+\overline{w}-1 \; | \; }{| \; w \; | } \; =2\; より \; | \; w+\overline{w}-1 \; | \; =2\;| \; w \; | \; から

\; | \; 2x-1 \; | \; =2\; | \; x+y\; i \; | \; だから \; | \; 2x-1 \; |^2 \; =2\; | \; x+y\; i \; |^2 \;

よって \displaystyle x=-y^2+ \frac{1}{4}\;

求める軌跡は、放物線 \displaystyle x=-y^2+ \frac{1}{4}\; \; \; \displaystyle \; \; \; -\frac{1}{2} \leqq x \leqq \frac{1}{4}\; \; の部分(図は省略)

 


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