数学(理系)の第5問（2018東京大学入試）

　　　　　　　　　第　 $5$ 　問

　複素数平面上の原点を中心とする半径 $\; 1 \;$ の円を $\; C \;$ とする。点 $\; \mathrm{P}(z) \;$ は $\; C \;$ 上にあり、点 $\; \mathrm{A}(1) \;$ とは異なるとする。点 $\; \mathrm{P} \;$ における円 $\; C \;$ の接線に関して、点 $\; \mathrm{A} \;$ と対称な点を $\; \mathrm{Q}(u) \;$ とする。 $\displaystyle w=\frac{1 }{\; 1-u \; } \;$ とおき、 $w \;$ と共役な複素数を $\; \overline{w} \;$ で表す。

$(1)\; \; u \;$ と $\displaystyle \; \frac{\; \overline{w} \; }{w } \;$ を $\; z \;$ についての整式として表し、絶対値の商 $\displaystyle \; \frac{\; | \; w+\overline{w}-1 \; | \; }{| \; w \; | } \;$ を求めよ。

$(2)\; \; C \;$ のうち実部が $\displaystyle \; \frac{\; 1 \; }{2 } \;$ 以下の複素数で表される部分を $\; C' \;$ とする。点 $\; \mathrm{P}(z) \;$ が $\; C' \;$ 上を動くときの点 $\; \mathrm{R}(w) \;$ の軌跡を求めよ。

解答

$(1) \;$ 原点を $\; \mathrm{O},\; i\;$ を表す点を $\; \mathrm{B}\;$ とする。また、 $|z|=1\;$ より $\; |z|^2=z\overline{z}=1\;$ から $\; \overline{z}=\displaystyle \frac{1}{z}$

点 $\; \mathrm{A}(1)\;$ を原点 $\; \mathrm{O}\;$ を中心として $\; \angle \mathrm{POB}\;$ だけ反時計回りに回転した点は　 $\; \displaystyle \frac{i}{z}$

この点を虚軸方向に $\; -i \;$ だけ平行移動した点は　 $\; \displaystyle \frac{i}{z}-i$

この点を実軸について対称移動した点は　 $\; \displaystyle \overline{\; \frac{i}{z}-i\; }=\frac{-i}{\overline{z}}+i=-iz+i$

この点を虚軸方向に $\; i\;$ だけ平行移動した点は $-iz+i+i=-iz+2i$

この点を原点 $\; \mathrm{O}\;$ を中心として $\; \angle \mathrm{BOP}\;$ だけ時計回りに回転した点が $\; \mathrm{Q}(u)\;$ だから

$\displaystyle u=(-iz+2i) \times \frac{z}{i}=-z^2+2z$

また　 $\displaystyle \; w=\frac{1}{1-u}=\frac{1}{1-(-z^2+2z)}=\frac{1}{(1-z)^2}$

$\displaystyle \; \overline{w}=\overline{\frac{1}{(1-z)^2}}=\frac{1}{(1-\overline{z})^2}=\frac{1}{(1-\frac{1}{z})^2}=\frac{z^2}{(1-z)^2}$

$\displaystyle \frac{\overline{w}}{w}=z^2$

よって　 $\displaystyle \; \frac{\; | \; w+\overline{w}-1 \; | \; }{| \; w \; | } \; =\Bigg| \frac{\; \; w+\overline{w}-1 \; \; }{\; w \; } \Bigg| \; =\Bigg| 1+\frac{\overline{w}}{w} -\frac{1}{w} \Bigg|$

　　　　　　　　　　　　 $\; =\big| 1+z^2-(1-z)^2\big| =|2z|=2|z|=2$

$(2)\;$ 点 $\; \mathrm{P}(z) \;$ が $\; C' \;$ 上を動くとき、 $z \;$ の実部は $\displaystyle \; \; \frac{z+\overline{z}}{2}\; \;$ だから

$\displaystyle -1 \leqq \frac{z+\overline{z}}{2} \leqq \frac{1}{2}$

また、 $w=x+y\; i\; \;$ ( $\; x,\; y\;$ は実数 )とする。

$\displaystyle x=\frac{w+\overline{w}}{2}=\frac{1}{2}\left\{ \frac{1}{(1-z)^2} + \frac{1}{(1-\overline{z})^2} \right\} =\frac{(1-\overline{z})^2+(1-z)^2}{2\{(1-z)(1-\overline{z})\}^2}$

　　　　　　　 $\displaystyle =\frac{(z+\overline{z})^2-2(z+\overline{z})}{2\{(z+\overline{z})-2\}^2}=\frac{z+\overline{z}}{2(z+\overline{z}-2)}=\frac{1}{2\big(1-\frac{2}{z+\overline{z}}\big)}$