高校数学の解き方

高校数学の教科書や大学入試の問題を解いてみます。簡潔で分かりやすい解答で、模範解答に近いものを目指します。

数学(理系)の第6問(2018東京大学入試)

         第 6 問

 座標空間内の\; 4 \; \; \mathrm{O}\; (0,\; \; 0,\; \; 0),\; \mathrm{A}\; (1,\; \; 0,\; \; 0),\; \mathrm{B}\; (1,\; \; 1,\; \; 0),\; \mathrm{C}\; (1,\; \; 1,\; \; 1)\; を考える。

 \displaystyle \frac{1}{2}\lt r \lt 1 \; とする。点\; \mathrm{P} \; が線分\; \mathrm{OA},\; \mathrm{AB},\; \mathrm{BC}\;  上を動くときに、点\; \mathrm{P} \; を中心とする半径\; r \; の球(内部を含む)が通過する部分を、それぞれ\; V_1,\; V_2,\; V_3 \; とする。

(1)\; 平面\; y=t \; \; V_1,\; V_3 \; 双方と共有点をもつような\; t \; の範囲を与えよ。さらに、この範囲の\; t \; に対し、平面\; y=t \; \; V_1 \; の共通部分および、平面\; y=t \; \; V_3 \; の共通部分を同一平面上に図示せよ。

(2)\; \; V_1\; \; V_3 \; の共通部分が\; V_2 \; に含まれるための\; r \; についての条件を求めよ。

(3)\; \; r \; \; (2)\; の条件をみたすとする。V_1 \; の体積を\; S \; とし、V_1 \; \; V_2 \; の共通部分の体積を\; T \; とする。V_1,\; V_2,\; V_3 \; を合わせて得られる立体\; V \; の体積を\; S \; \; T \; を用いて表せ。

(4)\; ひきつづき\; r \; \; (2)\; の条件をみたすとする。S \; \; T \; を求め、V \; の体積を決定せよ。

解答

\displaystyle (1) \; \; \frac{1}{2}\lt r \lt 1 \; だから、半径\; r \; の球\; \mathrm{A},\; \mathrm{B} \; は交わる。

2 \; 球の中心と平面\; y=t \; との距離は、それぞれ\; t,\; 1-t \; である。

これらが半径\; r \; より小さいとき、平面\; y=t \; \; V_1,\; V_3 \; 双方と共有点をもつから t \leqq r,\; \; 1-t \leqq r

よって   1-r \leqq t \leqq r

図は、xz \; 平面に、次の\; 2 \; つの領域をかく。

半径\; \sqrt{r^2-t^2}\; の円が、中心が\; (0,\; \; 0) \; から\; (1,\; \; 0) \; へと移動する領域をかく。

また、半径\; \sqrt{r^2-(1-t)^2}\; の円が、中心が\; (1,\; \; 0) \; から\; (1,\; \; 1) \; へと移動する領域をかく。(図は省略)

(2)\; 平面\; y=t \; \; V_2 \; の共通部分は半径\; r \; の円である。

V_1 \; \; V_3 \; の共通部分がこの円に含まれるのは、(1)\; の図の点\; (1,\; \; 0) \; からもっとも離れた点までの距離が\; r \; 以下であれば良い。

  \left(\sqrt{r^2-t^2}\right)^2+\left(\sqrt{r^2-(1-t)^2}\right)^2 \leqq r^2

よって、\displaystyle r^2 \leqq 2 \left( t- \frac{1}{2} \right)^2+\frac{1}{2}

ここで、(1)\; より、\displaystyle \frac{1}{2}\lt r \lt 1 \; で、 1-r \leqq t \leqq r\; をみたすすべての\; t \; についてこの式が成り立つためには、\displaystyle t= \frac{1}{2}\; のときが右辺が最小だから、このとき \displaystyle r^2 \leqq \frac{1}{2}\; である。

よって、\displaystyle \frac{1}{2}\lt r \leqq \frac{1}{\sqrt{2}}\;

(3)\; \; V_n \; の体積を\; k(V_n), \; \; V_n \; \; V_m \; の共通部分を\; V_n \cap V_m \; と表すとすると

k(V_1)=k(V_2)=k(V_3)=S,\; k(V_1 \cap V_2)=k(V_2 \cap V_3)=T

(2)\; より、V_1 \cap V_3 \; \; V_2 \; に含まれるから、V_1 \cap V_2 \cap V_3 \; は (V_1 \cap V_3) \cap V_2 \; で V_1 \cap V_3 \; と同一である。したがって、

V=k(V_1)+k(V_2)+k(V_3)-k(V_1 \cap V_2)-k(V_2 \cap V_3)-k(V_1 \cap V_3)+k(V_1 \cap V_2 \cap V_3)

\; \; \; =k(V_1)+k(V_2)+k(V_3)-k(V_1 \cap V_2)-k(V_2 \cap V_3)-k(V_1 \cap V_3)+k(V_1 \cap V_3)

\; \; \; =3S-2T

(4)\; \; V_1\; は、半径\; r \; の球と、底面が半径\; r \; の円で高さが\; 1 \; の円柱に分けることができるから

  \displaystyle S=\frac{4}{3} \pi r^3 + \pi r^2

次に、平面\; z=s \; \; V_1,\; V_2 \; 双方と共有点をもつような範囲は \; -r \leqq s \leqq r

平面\; z=s \; 上の\; V_1 \; \; V_2 \; の共通部分の図形は、半径\; \sqrt{r^2-s^2}\; \displaystyle \; \frac{3}{4} \; 円と、\; 1 \; \; \sqrt{r^2-s^2}\; の正方形を合わせたものである。よって、

\displaystyle T=2 \int_{0}^{r} \left\{ \frac{3}{4} \pi \left( \sqrt{r^2-s^2} \right) ^2 +\left( \sqrt{r^2-s^2} \right) ^2 \right\} ds

\displaystyle \; \; \; =2\left( \frac{3}{4} \pi +1 \right) \int_{0}^{r} (r^2-s^2) ds

\displaystyle \; \; \; =2\left( \frac{3}{4} \pi +1 \right) \Bigl[ r^2s- \frac{1}{3} s^3 \Bigr]_{0}^{r}

\displaystyle \; \; \; =2\left( \frac{3}{4} \pi +1 \right) \left( r^3- \frac{1}{3} r^3 \right)

\displaystyle \; \; \; = \pi r^3+ \frac{4}{3} r^3

したがって、\displaystyle V=3S-2T=3 \left( \frac{4}{3} \pi r^3 + \pi r^2 \right) -2 \left( \pi r^3+ \frac{4}{3} r^3 \right)

       \displaystyle =2 \pi r^3 + 3 \pi r^2 - \frac{8}{3} r^3

 

ブログ全体の目次(過去の記事の一覧)