数学(理系)の第1問.問1（2019京都大学入試）

　　　　　　　　　　第　 $1$ 　問

　次の各問に答えよ。

問 $\; 1$ 　 $\displaystyle 0\lt \theta \lt \frac{\pi}{2} \;$ とする。 $\cos \theta \;$ は有理数ではないが、 $\cos 2\theta \;$ と $\; \cos 3\theta \;$ がともに有理数となるような $\; \theta \;$ の値を求めよ。ただし、 $\; p \;$ が素数のとき、 $\sqrt{ p} \;$ が有理数でないことは証明なしに用いてよい。

解答

問 $\; 1$ 　 $\cos 2\theta \; =2\cos ^2 \theta \; -1\; ,\; \; \cos 3\theta \; =4\cos ^3 \theta \; -3\cos \theta \; =\cos \theta \; (4\cos ^2 \theta \; -3)$ 　より　 $\cos 3\theta \; =\cos \theta \; (2\cos 2\theta \; -1)$

ここで　 $2\cos 2\theta \; -1\neq 0$ 　とすると　 $\displaystyle \cos \theta \; =\frac{\cos 3\theta }{2\cos 2\theta \; -1}$ 　となり　 $\cos 2\theta \;$ と $\; \cos 3\theta \;$ がともに有理数だから　 $\cos \theta \;$ が有理数となり矛盾する。よって　 $2\cos 2\theta \; -1=0$ 　となり　 $\displaystyle \cos 2\theta \; =\frac{1}{2}$ 　である。

$0\lt 2\theta \lt \pi \;$ 　より　 $\displaystyle 2\theta =\frac{\pi}{3} \;$ だから　 $\displaystyle \theta =\frac{\pi}{6} \;$

逆に　 $\displaystyle \theta =\frac{\pi}{6} \;$ のとき　 $\displaystyle \cos \theta \; =\frac{\sqrt{3} }{2} \;$ 　で　 $\; 3 \;$ が素数で　 $\sqrt{3 } \;$ が有理数でないから　 $\cos \theta \;$ は有理数ではない。