数学(理系)の第2問(2019京都大学入試)
第 問
とする。とがともに素数となる整数をすべて求めよ。
解答
が偶数のとき、は整数)とすると、は偶数である。は連続する整数だから、いずれか一方は偶数である。よって、との一方は偶数の素数である。偶数の素数はのみである。
そこで、すなわちとなるを求める。
となるのは、
(グラフは省略する。)
となるのは、 から より
となるのは、のときが単調増加で、だからとなる整数はない。
よって、となる整数は、 だけである。
のとき、で題意をみたす。
すなわちのとき、で題意をみたす。
のとき、で題意をみたす。
すなわちのとき、で題意をみたす。
以上より、題意をみたす整数は
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