高校数学の解き方

高校数学の教科書や大学入試の問題を解いています。簡潔で分かりやすい解答、模範解答を目指します。

数学(理系)の第2問(2019京都大学入試)

          第 2 問

 f(x)=x^3+2x^2+2\; とする。|f(n)| \; \; |f(n+1)| \; がともに素数となる整数\; n \; をすべて求めよ。

 

解答

x \; が偶数のとき、x=2k \; (kは整数)とすると、f(x)=f(2k)=(2k)^3+2(2k)^2+2=2(4k^3+4k^2+1) \; は偶数である。n\; ,\; \; n+1 \; は連続する整数だから、いずれか一方は偶数である。よって、|f(n)| \; \; |f(n+1)| \; の一方は偶数の素数である。偶数の素数\; 2 \; のみである。

そこで\; \; |f(x)|=2 \; 、すなわち\; \; f(x)=\pm \; 2 \; となる\; x \; を求める。 

f'(x)=3x^2+4x=x(3x+4)

f'(x)=0 \; となるのは、\displaystyle x=-\frac{4}{3}\; , \; \; 0

\; \; \; x \cdots \displaystyle -\frac{4}{3} \cdots \; 0  \cdots
f'(x) \; + \; \; 0 \; - \; 0 \; +
f(x) \nearrow \displaystyle \, \frac{86}{27} \searrow \; 2  \nearrow

(グラフは省略する。)

f(x)=2 \; となるのは、x^3+2x^2+2=2 から x^2(x+2)=0 より x=-2 \; , \; \; 0

f(x)=-2 \; となるのは、\displaystyle x \lt -\frac{4}{3} \; のとき\; f(x) \; が単調増加で、f(-3)=-7 \; ,\; \; f(-2)=2\; だからf(x)=-2 \; となる整数はない。

よって、|f(x)|=2 \; となる整数は、x=-2 \; , \; \; 0 だけである。

n=-2 \; のとき、|f(n)|=2 \; , \; \; |f(n+1)|=3 \; で題意をみたす。

n+1=-2 \; すなわち\; n=-3 \; のとき、|f(n)|=7 \; , \; \; |f(n+1)|=2 \; で題意をみたす。

n=0 \; のとき、|f(n)|=2 \; , \; \; |f(n+1)|=5 \; で題意をみたす。

n+1=0 \; すなわち\; n=-1 \; のとき、|f(n)|=3 \; , \; \; |f(n+1)|=2 \; で題意をみたす。

以上より、題意をみたす整数は -3 \; , \; \; -2 \; , \; \; -1 \; , \; \; 0

 

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