高校数学の解き方

高校数学の教科書や大学入試の問題を解いています。簡潔で分かりやすい解答、模範解答を目指します。

数学(理系)の第3問(2019京都大学入試)

          第 3 問

 鋭角三角形\; \mathrm{ABC} \; を考え、その面積を\; S \; とする。0 \lt t \lt 1 \; をみたす実数\; t \; に対し、線分\; \mathrm{AC} \; \; t \; : \; 1-t \; に内分する点を\; \mathrm{Q} \; 、線分\; \mathrm{BQ} \; \; t \; : \; 1-t \; に内分する点を\; \mathrm{P} \; とする。実数\; t \; がこの範囲を動くときに点\; \mathrm{P} \; の描く曲線と、線分\; \mathrm{BC} \; によって囲まれる部分の面積を\; S \; を用いて表せ。

 

解答

\angle \; \mathrm{B}, \; \angle \; \mathrm{C}は鋭角だから、0 \lt a \lt c, \; \; b \gt 0 \; で、\mathrm{A} \; (a,\; \; b), \; \; \mathrm{B} \; (0,\; \; 0), \; \; \mathrm{C} \; (c,\; \; 0) \; とする。

すると、\mathrm{Q} \; \bigl( \; tc+(1-t)a \; ,\; \; (1-t)b \; \bigr), \; \; \mathrm{P} \; \bigl( \; t^2c+t(1-t)a \; ,\; \; t(1-t)b \; \bigr) \; となるから、0 \lt t \lt 1 \; で点\; \mathrm{P} \; の描く曲線は

\genfrac{\{}{.}{0pt}{0}{\; x=t^2c+t(1-t)a}{\; y=t(1-t)b \quad \quad \; \; }

と表せる。

dx=(2tc+a-2ta)dt \; , \; \; x \; \; 0 \rightarrow c \; のとき\; t \; \; 0 \rightarrow 1 \; だから、求める面積は

\displaystyle \int_{0}^{c} y \; dx

\displaystyle =\int_{0}^{1} t(1-t)b \cdot (2tc+a-2ta) \; dt

\displaystyle =\int_{0}^{1} \bigl\{ \; abt+(2bc-3ab)t^2-2b(c-a)t^3 \; \bigr\} \; dt

\displaystyle =\Bigl[ \frac{1}{2} abt^2 + \frac{1}{3} (2bc-3ab)t^3 - \frac{1}{2} b(c-a)t^4 \Big]_{0}^{1}

\displaystyle = \frac{1}{2} ab + \frac{1}{3} (2bc-3ab) - \frac{1}{2} b(c-a)

\displaystyle = \frac{1}{6} bc

ここで、\displaystyle S= \frac{1}{2} bc \; だから、求める部分の面積は \displaystyle \frac{1}{3} S \; である。

 

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