数学(理系)の第4問（2019京都大学入試）

　　　　　　　　　　第　 $4$ 　問

　 $1 \;$ つのさいころを $\; n \;$ 回続けて投げ、出た目を順に $\; X_1, \; X_2, \; \cdots, \; X_n \;$ とする。このとき次の条件をみたす確率を $\; n \;$ を用いて表せ。ただし $\; X_0=0 \;$ としておく。

　条件： $1 \leqq k \leqq n \;$ をみたす $\; k \;$ のうち、 $X_{k-1} \leqq 4 \;$ かつ $\; X_k \geqq 5 \;$ が成立するような $\; k \;$ の値はただ $\; 1 \;$ つである。

解答

さいころを $\; 1 \;$ 回投げると、 $4 \;$ 以下の目か $\; 5 \;$ 以上の目のいずれかが出る。さいころを $\; n \;$ 回投げると、これらが数回ずつ交互に繰り返されることになる。よって、条件をみたすのは

$1 \leqq k \leqq n \; , \; \; 1 \leqq m \leqq n-(k-1) \;$ のとき、 $4 \;$ 以下の目が $\; (k-1) \;$ 回（ $\; X_0=0 \;$ だから、 $0 \;$ 回でもよい。）続けて出た後、 $5 \;$ 以上の目が $\; m \;$ 回（ $\; 1 \;$ 回以上）出て、その後また $\; 4 \;$ 以下の目が $\; (n-(k-1)-m) \;$ 回（ $\; 0 \;$ 回でもよい。）出る。次に $\; 5 \;$ 以上の目は出ない。出ると $\; k \;$ が $\; 2 \;$ つになり、条件をみたさない。

$1 \;$ つのさいころを $\; 1 \;$ 回投げたとき、 $4 \;$ 以下の目が出る確率は $\displaystyle \; \frac{2}{3} \;$ 、 $5 \;$ 以上の目が出る確率は $\displaystyle \; \frac{1}{3} \;$ である。したがって、その確率は

$\displaystyle \left( \; \frac{2}{3} \; \right)^{k-1} \left( \; \frac{1}{3} \; \right)^m \left( \; \frac{2}{3} \; \right)^{n-(k-1)-m}=\left( \; \frac{1}{3} \; \right)^m \left( \; \frac{2}{3} \; \right)^{n-m}=\left( \; \frac{2}{3} \; \right)^n \left( \; \frac{1}{2} \; \right)^m$

ここで、 $m \;$ は $\; 1 \leqq m \leqq n-(k-1) \;$ のそれぞれについて条件をみたすから

$\displaystyle \sum_{m=1}^{n-(k-1)} \left( \; \frac{2}{3} \; \right)^n \left( \; \frac{1}{2} \; \right)^m=\left( \; \frac{2}{3} \; \right)^n \cfrac {\; \; \; \cfrac{1}{2} \left\{ 1- \left( \cfrac{1}{2} \right)^{n-(k-1)} \right\} }{1- \cfrac{1}{2}}$

$\displaystyle =\left( \; \frac{2}{3} \; \right)^n \left\{ 1- \left( \frac{1}{2} \right)^{n-(k-1)} \right\} =\left( \; \frac{2}{3} \; \right)^n - \left( \frac{1}{3} \right)^n \cdot 2^{k-1}$

また、 $k \;$ は　 $1 \leqq k \leqq n \;$ のそれぞれについて条件をみたすから

$\displaystyle \sum_{k=1}^{n} \left\{ \left( \; \frac{2}{3} \; \right)^n - \left( \frac{1}{3} \right)^n \cdot 2^{k-1} \right\} =\left( \; \frac{2}{3} \; \right)^n \cdot n -\left( \; \frac{1}{3} \; \right)^n \cdot \frac{2^n-1}{2-1}$

$\displaystyle =\left( \; \frac{2}{3} \; \right)^n \cdot n -\left( \; \frac{2}{3} \; \right)^n +\left( \; \frac{1}{3} \; \right)^n =\frac{2^n(n-1)+1}{3^n}$