数学(理系)の第5問（2019京都大学入試）

　　　　　　　　　　第　 $5$ 　問

　半径 $\; 1 \;$ の球面上の $\; 5 \;$ 点 $\; \mathrm{A}, \; \mathrm{B_1}, \; \mathrm{B_2}, \; \mathrm{B_3}, \; \mathrm{B_4} \;$ は、正方形 $\; \mathrm{B_1B_2B_3B_4} \;$ を底面とする四角錐をなしている。この $\; 5 \;$ 点が球面上を動くとき、四角錐 $\; \mathrm{AB_1B_2B_3B_4} \;$ の体積の最大値を求めよ。

解答

半径 $\; 1 \;$ の球面を $\; x^2+y^2+z^2=1 \;$ とする。

$4 \;$ 点 $\; \mathrm{B_1}, \; \mathrm{B_2}, \; \mathrm{B_3}, \; \mathrm{B_4} \;$ は、正方形だから同一平面上にあり、図形の対称性よりこの平面を $\; z=t, \; \; -1 \lt t \lt 1$ としてよい。

この球面と平面の交わる図形は、円 $\; x^2+y^2=1-t^2 \;$ となる。この円周上に $\; 4 \;$ 点がある。正方形の対角線はその交点がこの円の中心で、直交することから、どれも合同である。よって、その $\; 1 \;$ つを次のようにする。

$\; \mathrm{B_1}(\sqrt{1-t^2},\; \; 0,\; \; t) , \; \mathrm{B_2}(0,\; \; \sqrt{1-t^2},\; \; t) , \; \mathrm{B_3}(-\sqrt{1-t^2},\; \; 0,\; \; t) , \; \mathrm{B_4}(0,\; \; -\sqrt{1-t^2},\; \; t) \;$

（図は省略）

その正方形の $\; 1 \;$ 辺の長さは、 $\mathrm{B_1B_2} = \sqrt{1-t^2} \times \sqrt{2}=\sqrt{2(1-t^2)}$ だから、その面積は

$\left(\sqrt{2(1-t^2)} \right)^2=2(1-t^2)$

である。この球面上の点 $\; \mathrm{A}(x,\; \; y,\; \; z) \;$ とする。ただし、図形の対称性から $\; z \gt t \;$ としてよい。

点 $\; \mathrm{A} \;$ から平面 $\; \mathrm{B_1B_2B_3B_4} \;$ に垂線をひき、その足を $\; \mathrm{H} \;$ とすると、 $\; \mathrm{H}(x,\; \; y,\; \; t) \;$ となる。その長さ、つまりこの四角錐の高さは

$\mathrm{AH} =z-t \;$

$t \lt z \leqq 1 \;$ だから、最大となるのは $\; z=1 \;$ のときで

$\mathrm{AH} =1-t \;$

以上のことより、この四角錐の体積 $\; V \;$ は

$\displaystyle V= \frac{1}{3} \times 2(1-t^2) \times (1-t)$

$\displaystyle = \frac{2}{3} (1+t)(1-t)^2$

$\displaystyle \frac{dV}{dt} = \frac{2}{3} (1-t)^2 - \frac{2}{3} (1+t) \times 2(1-t)$

$\displaystyle = \frac{2}{3} (t-1)(3t+1)$

$\; \; \; t$	$-1$	$\cdots$	$\displaystyle -\frac{1}{3}$	$\cdots$	$1$
$\displaystyle \frac{dV}{dt}$		$\; +$	$\; \; 0$	$\; -$	$0$
$\; \; V$	$\;0$	$\nearrow$	$\displaystyle \frac{64}{81}$	$\searrow$	$0$