高校数学の解き方

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数学(理系)の第4問（2019東京大学入試）

東京大学入試

問題

　　　　　　　　　　第　4　問

　n \; を\; 1 \; 以上の整数とする。

(1) \; \; n^2+1 \; と\; 5n^2+9 \; の最大公約数\; d_n \; を求めよ。

(2) \; \; (n^2+1)(5n^2+9) \; は整数の\; 2 \; 乗にならないことを示せ。

　

解答

(1) \; 5n^2+9 \; を\; n^2+1 \; で割ると、商が\; 5 \; で余りが\; 4 \; だから

5n^2+9=5(n^2+1)+4

よって、5n^2+9 \; と\; n^2+1 \; の最大公約数\; d_n \; は、n^2+1 \; と\; 4 \; の最大公約数に等しい。

k \; を\; 1 \; 以上の整数とする。

(\mathrm{i}) \; n=2k \; （偶数）のとき、n^2+1=(2k)^2+1=4k^2+1

これは\; 4 \; で割ると\; 1 \; 余る数だから、\; d_n=1 \;

(\mathrm{ii}) \; n=2k-1 \; （奇数）のとき、n^2+1=(2k-1)^2+1=4(k^2-k)+2

これは\; 2 \; の倍数で\; 4 \; の倍数ではないから、\; d_n=2 \;

以上より、n \; が偶数のとき\; d_n=1 \; 、n \; が奇数のとき\; d_n=2 \; となる。

 

(2) \; n \; は\; 1 \; 以上の整数だから、n^2+1,\; 5n^2+9 \; はともに\; 2 \; 以上の整数である。

(\mathrm{i}) \; n \; が偶数のとき\; d_n=1 \; だから、n^2+1 \; は整数の\; 2 \; 乗とならなければならない。

ところが、連続する整数\; n,\; n+1 \; に対して、\; n^2 \lt n^2+1 \lt (n+1)^2 \; となるので、n^2+1 \; は整数の\; 2 \; 乗ではない。

(\mathrm{ii}) \; n \; が奇数のとき\; n=2k-1 \; とすると、

n^2+1=(2k-1)^2+1=2(2k^2-2k+1)

5n^2+9=5(2k-1)^2+9=2(10k^2-10k+7)

d_n=2 \; だから、2k^2-2k+1 \; と\; 10k^2-10k+7 \; は互いに素で、それぞれ整数の\; 2 \; 乗とならなければならない。

k=4 \; のとき\; 2k^2-2k+1=25=5^2 \; で、整数の\; 2 \; 乗となる場合がある。

一方、10k^2-10k+7=2(5k^2-5k+3)+1 \; は奇数だから、奇数の\; 2 \; 乗とならなければならない。

そこで\; m \; を整数として、10k^2-10k+7=(2m-1)^2 \; とする。

10k^2-10k+7=4m^2-4m+1

5k(k-1)+3=2m(m-1)

連続した整数の積\; k(k-1) \; は偶数だから左辺は奇数で、右辺は偶数だから、これをみたす整数\; m \; はない。よって、\; 10k^2-10k+7 \; は整数の\; 2 \; 乗とならない。

以上より、(n^2+1)(5n^2+9) \; は整数の\; 2 \; 乗にならない

 

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