高校数学の解き方

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数学(理系)の第6問（2019東京大学入試）

東京大学入試

問題

　　　　　　　　　　第　6　問

　複素数\; \alpha,\; \beta,\; \gamma,\; \delta \; および実数\; a,\; b \; が、次の\; 3 \; 条件をみたしながら動く。

条件\; 1 \; : \; \alpha,\; \beta,\; \gamma,\; \delta \; は相異なる。

条件\; 2 \; : \; \alpha,\; \beta,\; \gamma,\; \delta \; は\; 4 \; 次方程式\; z^4-2z^3-2az+b=0 \; の解である。

条件\; 3 \; : \; 複素数\; \alpha \beta + \gamma \delta \; の実部は\; 0 \; であり、虚部は\; 0 \; ではない。

(1) \; \; \alpha,\; \beta,\; \gamma,\; \delta \; のうち、ちょうど\; 2 \; つが実数であり、残りの\; 2 \; つは互いに共役な複素数であることを示せ。

(2) \; \; b \; を\; a \; で表せ。

(3) \; 複素数\; \alpha + \beta \; がとりうる範囲を複素数平面上に図示せよ。

　

解答

(1) \; \; 条件\; 3 \; より、\; \alpha,\; \beta,\; \gamma,\; \delta \; のうち少なくとも\; 1 \; つは虚数だから、条件\; 2 \; の\; 4 \; 次方程式の\; 4 \; つの解のうち虚数解の\; 1 \; つを\; w \; とすると、

　　w^4-2w^3-2aw+b=0

w \; の共役複素数を\overline{w} \; とすると、

　　\overline{w}^4-2\overline{w}^3-2a\overline{w}+b=\overline{w^4}-2\overline{w^3}-2a\overline{w}+b=\overline{w^4-2w^3-2aw+b}=0

よって、\overline{w} \; もこの\; 4 \; 次方程式の解である。

残り\; 2 \; つも虚数解だとすると、これを\; v,\; \overline{v} \; として、

条件\; 3 \; の式は、\alpha \beta + \gamma \delta = w\overline{w} +v\overline{v} \; 　または　\alpha \beta + \gamma \delta = wv+\overline{w} \; \overline{v} =wv+\overline{wv}\; 　または　\alpha \beta + \gamma \delta = w\overline{v}+\overline{w}v =w\overline{v}+\overline{w\overline{v}}\; となるが、どれも実数となり、条件\; 3 \; をみたさない。

そこで、残り\; 2 \; つは実数だとすると、これを\; p,\; q \; （条件\; 1 \; より\; p\neq q \; ）として、

条件\; 3 \; の式は、\alpha \beta + \gamma \delta = w\overline{w}+pq \; 　または　\alpha \beta + \gamma \delta = pw+q\overline{w} \; 　または　\alpha \beta + \gamma \delta = qw+p\overline{w} \; となる。一つ目は実数となるが、二つ目と三つ目は、\; p\neq q \; だから虚数である。

つまり、\alpha,\; \beta \; のうち一方は実数で、他方は虚数である。\; \; \cdots \; (*)

ここで、\alpha \beta + \gamma \delta = pw+q\overline{w} \; が純虚数となるのは、

　　(\; pw+q\overline{w} \; )+\overline{pw+q\overline{w}} =0

のときである。よって、pw+q\overline{w} +p\overline{w}+qw =0 \; より

　　(\; p+q\; )(\; w+\overline{w} \; ) =0

また、\alpha \beta + \gamma \delta = qw+p\overline{w} \; のときも同様の結果を得る。

したがって、\; p+q=0 \; \; \cdots \; (\mathrm{i}) \;　または　\; w+\overline{w} =0 \; \; \cdots \; (\mathrm{ii}) \;　のとき、\alpha \beta + \gamma \delta \; は純虚数となる。

以上より、4 \; つの解\; \alpha,\; \beta,\; \gamma,\; \delta \; は、p,\; q, \; w,\; \overline{w} \; のどれかだから、そのうちちょうど\; 2 \; つが実数\; p,\; q \; であり、残りの\; 2 \; つは互いに共役な複素数\; w,\; \overline{w} \; である。

 

(2) \; \; 条件\; 2 \; の\; 4 \; 次方程式の\; 4 \; つの解は、\; p,\; q, \; w,\; \overline{w} \; だから、その方程式は次のようになる。

　　(\; z-p \; )( \; z-q \; )( \; z-w \; )( \; z-\overline{w} \; )=0

　　\{ \; z^2-(\; p+q \; )z+ pq \; \}\{ \; z^2-(\; w+\overline{w} \; )z+ w\overline{w} \; \}=0 \; \; \cdots \; (**)

　　z^4-\{(\; p+q \; )+(\; w+\overline{w} \; )\}z^3+ \{(\; p+q \; )(\; w+\overline{w} \; )+pq+w\overline{w} \; \}z^2
　　-\{(\; p+q \; )w\overline{w}+pq(\; w+\overline{w} \; )\}z+pqw\overline{w} =0

条件\; 2 \; の方程式と比較して、

　　(\; p+q \; )+(\; w+\overline{w} \; ) =2,\; \; (\; p+q \; )(\; w+\overline{w} \; )+pq+w\overline{w}=0,\; \;
　　(\; p+q \; )w\overline{w}+pq(\; w+\overline{w} \; ) =2a,\; \; pqw\overline{w} =b

(\mathrm{i})\; のとき、p+q=0 \;、第１式より\; w+\overline{w} \; =2 \; 、第３式より\; pq=a \; 、第２式より\; w\overline{w} =-a \; 、よって、第４式より　b=-a^2 \; \; \cdots \; (\mathrm{i}_2)

(\mathrm{ii})\; のとき、w+\overline{w}=0 \;、第１式より\; p+q=2 \; 、第３式より\; w\overline{w}=a \; 、第２式より\; pq =-a \; 、よって、第４式より　b=-a^2 \; \; \cdots \; (\mathrm{ii}_2)

以上より、いずれの場合も　\;  b=-a^2 \;

 

(3) \; \; (*)より、\; \alpha + \beta \; は虚数だから、実数\;  x,\; y \; を使って、

　　\; \alpha + \beta =x+y\;i \; \; \; (y\neq 0)\;

と表せる。また、\; \alpha, \; \beta \; のうち、実数は\;  p \; （\;  q \; でもよい。）、虚数は\;  w \; （\; \overline{w}  \; でもよい。）だから、

　　\displaystyle x=p+\frac{w+\overline{w}}{2}, \; \; \; \; y=\frac{w-\overline{w}}{2i}

となる。さらに、\displaystyle y^2=-\frac{(w-\overline{w})^2}{4} \; である。

(\mathrm{i})\; のとき、\; (\mathrm{i}_2)\; から、 \; (**)\; は、(\; z^2+ a \; )(\; z^2-2z-a \; )=0 \; となる。

このとき、\;  p \; は\; z^2+ a =0 \; の解だから、\; p^2+ a =0 \;

さらに、\; w+\overline{w} \; =2 \; だから、\displaystyle x=p+\frac{2}{2}=p+1 \; より、\;  p=x-1 \; を代入して、\; (x-1)^2+ a =0 \;

また、\; w\overline{w} =-a \; だから、(\; w-\overline{w}\; )^2 =(\; w+\overline{w}\; )^2-4w\overline{w} =4+4a \; より、\displaystyle y^2=-\frac{4+4a}{4}=-1-a \; よって、\; y^2+ a =-1 \;

したがって、\; a \; を消去すると、\; (x-1)^2-y^2=1 \; \; \; (y\neq 0)\;

(\mathrm{ii})\; のとき、\; (\mathrm{ii}_2)\; から、 \; (**)\; は、(\; z^2-2z-a \; )(\; z^2+ a \; )=0 \; となる。

このとき、\;  p \; は\; z^2-2z-a =0 \; の解だから、\; p^2-2p-a =0 \;

さらに、\; w+\overline{w} \; =0 \; だから、\displaystyle x=p+\frac{0}{2}=p \; より、\; x^2-2x-a =0 \; よって、\; (x-1)^2-a =1 \;

また、\; w\overline{w} =a \; だから、(\; w-\overline{w}\; )^2 =(\; w+\overline{w}\; )^2-4w\overline{w} =-4a \; より、\displaystyle y^2=-\frac{-4a}{4}=a \; 　よって、\; y^2- a =0 \;

したがって、\; a \; を消去すると、\; (x-1)^2-y^2=1 \; \; \; (y\neq 0)\;

以上より、複素数\; \alpha + \beta \; がとりうる範囲は、双曲線\; (x-1)^2-y^2=1 \; \; \; (y\neq 0)\; 　である。

（図は省略）

 

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