数学(理系)の第5問(2022京都大学入試)
問題
第 問
曲線軸および軸で囲まれる図形の面積をとする。とし、上の点と原点、およびを頂点にもつ長方形の面積をとする。このとき、次の各問に答えよ。
を求めよ。
は最大値をただつのでとることを示せ。そのときのをとすると、であることを示せ。
を示せ。
解答
のとき、だから
(答)
で、だから、
だから、とすると、だから、関数は単調減少である。
また、この区間で連続で、だから、中間値の定理と単調減少により、となるがただつ存在する。
さらに、このをとすると、で、、でであるから、で、、でである。
したがって、では増加し、で最大となり、では減少する。よって、は最大値をただつのでとり、それが、である。
そのとき、だから、より
より、
だから、
よって、だから、
また、だから、
以上より、
ゆえに、
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