高校数学の解き方

高校数学の教科書や大学入試の問題を解いています。簡潔で分かりやすい解答、模範解答を目指します。

数学(理系)の第5問(2022京都大学入試)

問題

          第 5 問

 曲線\displaystyle \; C:y= \cos^3 x \left(0 \leqq x \leqq \frac{\pi}{2} \right),\; x \; 軸および\; y \; 軸で囲まれる図形の面積を\; S \; とする。\displaystyle \; 0 \lt t \lt \frac{\pi}{2} \; とし、\; C \; 上の点\; \mathrm{Q} (t,\; \cos^3 t) \; と原点\; \mathrm{O} \; 、および\; \mathrm{P} (t,\; 0),\; \mathrm{R} (0,\; \cos^3 t)  \; を頂点にもつ長方形\; \mathrm{OPQR} \; の面積を\; f(t) \; とする。このとき、次の各問に答えよ。

\; (1) \; \; \; S \; を求めよ。

\; (2) \; \; \; f(t) \; は最大値をただ\; 1 \; つの\; t \; でとることを示せ。そのときの\; t \; \; \alpha \; とすると、\displaystyle \; f( \alpha )= \frac{\cos^4 \alpha}{3 \sin \alpha } \; であることを示せ。

\displaystyle \; (3) \; \; \; \frac{f( \alpha )}{S} \lt \frac{9}{16} \; を示せ。

 

解答

\displaystyle \; (1) \; \; \; 0 \leqq x \leqq \frac{\pi}{2} \; のとき、\; \cos^3 x \geqq 0 \; だから

\displaystyle \; S=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos^3 x dx=\frac{1}{4}\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} (\cos3x +3\cos x) dx\;

    \displaystyle \; =\frac{1}{4}\Bigl[\frac{1}{3}\sin3x +3\sin x  \Bigr]_{0}^{\frac{\pi}{2}} =\frac{1}{4} \left( -\frac{1}{3} +3 \right) =\frac{2}{3}\;

     (答)\displaystyle \; \frac{2}{3} \;

 

\displaystyle \; (2) \; \; \; 0 \lt t \lt \frac{\pi}{2} \; で、\; f(t)=t \cos^3 t \; だから、\; f'(t)= \cos^2 t(\cos t -3t \sin t) \;

\; \cos^2 t \gt 0 \; だから、\; g(t)= \cos t -3t \sin t \; とすると、\; g'(t)=-( 4\sin t+3t \cos t) \lt 0 \; だから、関数\; g(t) \; は単調減少である。

また、この区間\displaystyle \; 0 \leqq t \leqq \frac{\pi}{2} \; で連続で、\displaystyle \; g(0)=1 \gt 0,\; g\left( \frac{\pi}{2} \right) =- \frac{3}{2} \pi \lt 0 \; だから、中間値の定理と単調減少により、\; g(t)=0 \; となる\; t \; がただ\; 1 \; つ存在する。

さらに、この\; t \; \; \alpha \; とすると、 \; 0 \lt t \lt \alpha \; \; g(t) \gt 0 \; \; g(\alpha)=0 \; \displaystyle \; \alpha \lt t \lt \frac{\pi}{2} \; \; g(t) \lt 0 \; であるから、 \; 0 \lt t \lt \alpha \; \; f'(t) \gt 0 \; \; f'(\alpha)=0 \; \displaystyle \; \alpha \lt t \lt \frac{\pi}{2} \; \; f'(t) \lt 0 \; である。

したがって、 \; 0 \lt t \lt \alpha \; \; f(t) \; は増加し、\; f(\alpha) \; で最大となり、\displaystyle \; \alpha \lt t \lt \frac{\pi}{2} \; \; f(t) \; は減少する。よって、\; f(t) \; は最大値をただ\; 1 \; つの\; t \; でとり、それが、\; t= \alpha \; である。

そのとき、\; g(\alpha)= \cos \alpha -3\alpha \sin \alpha =0 \; だから、\displaystyle \; \alpha = \frac{\cos \alpha}{3 \sin \alpha } \; より

\displaystyle \; f( \alpha )= \frac{\cos \alpha}{3 \sin \alpha } \times \cos^3 \alpha = \frac{\cos^4 \alpha}{3 \sin \alpha } \;

 

\displaystyle \; (3) \; \; \; \frac{f(\alpha)}{S} = \frac{\cos^4 \alpha}{2 \sin \alpha }

 \; (2) \; より、\displaystyle \; g \left( \frac{\pi}{6} \right) = \cos \frac{\pi}{6} -3 \times \frac{\pi}{6} \sin \frac{\pi}{6} = \frac{2\sqrt{3} - \pi}{4} \gt 0 \;

\displaystyle \; g( \alpha )=0, \; g \left( \frac{\pi}{2} \right) \lt 0 \; だから、\displaystyle \; \frac{\pi}{6} \lt \alpha \lt \frac{\pi}{2} \;

よって、\displaystyle \; \cos \frac{\pi}{6} \gt \cos \alpha \gt \cos \frac{\pi}{2} \; だから、\displaystyle \; \frac{\sqrt{3}}{2} \gt \cos \alpha \gt 0,\; \frac{9}{16} \gt \cos^4 \alpha \gt 0 \;

また、\displaystyle \; \sin \frac{\pi}{6} \lt \sin \alpha \lt \sin \frac{\pi}{2} \; だから、\displaystyle \; \frac{1}{2} \lt \sin \alpha \lt 1,\; \frac{1}{2} \lt \frac{1}{2\sin \alpha} \lt 1 \;

以上より、\displaystyle \; \frac{9}{16} \gt \frac{\cos^4 \alpha}{2\sin \alpha} \gt 0 \;

ゆえに、\displaystyle \; \frac{f( \alpha )}{S} \lt \frac{9}{16} \;

 

 

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