高校数学の解き方

高校数学の教科書や大学入試の問題を解いています。簡潔で分かりやすい解答、模範解答を目指します。

小学校クラスの3分の2が学区内トップの公立高校に行った話

私が通った小学校は山の中にある。当時、1クラス20人弱だった。女子はたった5人だった。だから女子を大事にした。 2人ずつ手をつなぐなんてことは小学校ではよくあることだ。体育の時間や遠足、行事などでは、ほとんど例外なくこうなるのだ。 先生からの命令…

絶対評価と相対評価について

中学校の成績(内申点)は、昔は相対評価、今は絶対評価です。徐々に改訂されていって、現在の形になったのは年前です。 相対評価は、クラスの中での順位によって段階の評定をつけるもので、絶対評価は、目標に対する達成の度合いでつけます。 たとえば相対…

長期休暇にしたこと

高校2年生の夏休み、私はひたすら読書をした。メンバーの違うキャンプに3度行ったが、それ以外は家にいた。夏の甲子園は見ていたかもしれないが、ヒマを持て余す毎日だった。 父が買い揃えた、箱型のカバーに入った文学全集が、書斎のガラス窓付きの本箱に飾…

9月入学と学習の回復(追記)

昨日の記事の追記 きっとこのような意見は、いわゆる「学習の遅れ」を心配している人たちの気持ちを逆なでするのでしょうね。むしろ安心してほしいと思って、この記事を書いたつもりでしたが。 「9月入学」や「夏休み返上」を検討するのなら、「学習内容削減…

9月入学と学習の回復

9月入学のメリットは、次の2つである。 (1)海外と入学時期を合わせて、留学生や教授の交流を促進する。 (2)今年度の学習内容がこなせなくなることへの不安を解消する。 この2つに比べれば、これ以外のことは9月入学を決断するに足る理由とは言えない。…

9月入学について

9月入学については、多くの人が意見を述べています。様々な課題があることも分かって来ています。すべてについては取り上げられませんので、ひとつの問題に絞って検討してみようと思います。 それは年齢のことです。それを「学齢」と言い、学校教育法で定め…

数学(医系)の第4問(2010千葉大学入試)

あの問題を解いてみた。 引用する方法を知らないので、もう一度問題文を載せる。 最後に、同じような経験談を載せることにした。 問題 第 問 以下の問いに答えよ。 を満たす正の整数の組をすべて求めよ。 を満たす正の整数の組をすべて求めよ。 解答 で割っ…

複素数の問題

Yahoo!知恵袋に投稿された質問です。 問題の画像が荒くてはっきりとしません。こんな問題ではないかと予想して解きます。問題が違っていても、参考になるように丁寧に解きます。 問題 とする。次の問いに答えよ。 とする。点が点を中心とする半径の円の周上…

数学(理系)の第6問(2020東京大学入試)

問題 第 問 以下の問いに答えよ。 を実数とする。の方程式 を考える。のとき、この方程式はの範囲に少なくとも個の解を持つことを示せ。 座標平面上の楕円 を考える。また、を満たす実数に対して、不等式 が表す領域をとする。内のすべての点が以下の条件を…

数学(理系)の第5問(2020東京大学入試)

問題 第 問 座標空間において、平面上の原点を中心とする半径の円を考える。この円を底面とし、点を頂点とする円錐(内部を含む)をとする。また、点を考える。 点がの底面を動くとき、線分が通過する部分をとする。平面によるの切り口および、平面によるの…

数学(理系)の第4問(2020東京大学入試)

問題 第 問 をを満たす整数とする。個の整数 から異なる個を選んでそれらの積をとる。個の整数の選び方すべてに対しこのように積をとることにより得られる個の整数の和をとおく。例えば、 である。 以上の整数に対し、を求めよ。 以上の整数に対し、について…

数学(理系)の第3問(2020東京大学入試)

問題 第 問 を満たす実数に対して、 とする。座標平面上の点を考える。 におけるの関数は単調に減少することを示せ。 原点との距離をとする。におけるの関数の増減を調べ、最大値を求めよ。 がを動くときのの軌跡をとし、と軸で囲まれた領域をとする。原点を…

数学(理系)の第2問(2020東京大学入試)

問題 第 問 平面上の点が同一直線上にないとき、それらを頂点とする三角形の面積をで表す。また、が同一直線上にあるときは、とする。 を平面上の点とし、とする。この平面上の点が を満たしながら動くとき、点の動きうる範囲の面積を求めよ。 解答 とすると…

数学(理系)の第1問(2020東京大学入試)

問題 第 問 を実数とする。不等式 をすべて満たす実数の集合と、を満たす実数の集合が一致しているとする。 はすべて以上であることを示せ。 のうち少なくとも個はであることを示せ。 であることを示せ。 解答 とすると、題意より、 「はすべて以上である。…

演習問題Bの13(p.123,数学Ⅰ,数研,改訂版)

問題 つの放物線のつの共有点の座標を求めよ。 解答 とする。からを消去すると すなわち これを解くと から のとき ,のとき よって,共有点の座標は ブログ全体の目次(過去の記事の一覧)

演習問題Bの12(p.123,数学Ⅰ,数研,改訂版)

問題 次方程式が次のような実数解をもつように,定数の値の範囲を求めよ。 異なるつの正の解 異なるつの負の解 正の解と負の解 解答 とすると よって,のグラフは下に凸の放物線で,軸はである。 この次方程式が異なるつの正の解をもつのは,このグラフが軸…

演習問題Bの11(p.123,数学Ⅰ,数研,改訂版)

問題 とする。つの方程式について次の条件が成り立つように、定数の値の範囲を定めよ。 つの方程式がともに実数解をもつ。 つの方程式の少なくとも一方が実数解をもつ。 つの方程式の一方だけが実数解をもつ。 解答 つの方程式はでともに次方程式だから,の…

演習問題Bの10(p.123,数学Ⅰ,数研,改訂版)

問題 関数について,の範囲での値が常に負となるように,定数の値の範囲を定めよ。 解答 このグラフは下に凸の放物線で,軸がの変域の中央より左にあるから,の変域の右端のでの値が負となれば,の変域での値が常に負となる。よって これを解くと より ブロ…

演習問題Bの9(p.123,数学Ⅰ,数研,改訂版)

問題 の次関数がある。 この次関数の最小値を,の式で表せ。 の値を変化させて,における最小値が最も大きくなるときのの値と,そのときのの値を求めよ。 解答 このグラフは下に凸の放物線だから,で最小となり,最小値は このグラフは上に凸の放物線だから …

演習問題Bの8(p.123,数学Ⅰ,数研,改訂版)

問題 は正の定数とする。関数の最大値を求めよ。 解答 のとき、、のとき、となる。 この次関数の頂点は、のとき、となるのは、これ以外にでは、 (図は省略) グラフより、 のとき、で最大値 のとき、で最大値 のとき、で最大値 のとき、で最大値 ブログ全体…

割引率10%が8%に

百貨店から電話があった。 「ご注文の振袖のご準備ができました。〇日までにお越しになってお支払いをされますと、割引率がです。それ以降になりますと、になります。金額が金額だけに、の違いは大きいですよ。」 すぐに妻に伝えた。妻は電話して、いつまで…

演習問題Bの7(p.123,数学Ⅰ,数研,改訂版)

問題 関数の最小値がであるとき,定数の値を求めよ。 解答 のとき で最小値となればよい。 より だから より のとき で最小値となればよい。 より これは を満たす。 のとき で最小値となればよい。 より だから これは を満たさない。 より ブログ全体の目…

演習問題Bの15(p.114,数学Ⅱ,数研,改訂版)

問題 ある工場では製品を製造している。それらを製造するには原料が必要で,を製造するために必要な原料の量と,原料の在庫量は右の表の通りである。また,あたりの利益は,それぞれ万円,万円である。原料の在庫量の範囲で,最大の利益を得るには,をそれぞ…

演習問題Bの14(p.114,数学Ⅱ,数研,改訂版)

問題 次の問いに答えよ。 直線に関して,点と対称な点の座標を求めよ。 において,点が直線上を動くとき,点の軌跡を求めよ。 解答 直線をとし,点の座標をとする。 直線はに垂直であるから ゆえに また,線分の中点は上にあるから ゆえに を連立してについ…

演習問題Bの13(p.114,数学Ⅱ,数研,改訂版)

問題 円上の点におけるこの円の接線の方程式を求めよ。 解答 円の中心と接点を結ぶ直線の傾きは よって,求める接線の方程式は,この直線に垂直で,点を通るから ゆえに ブログ全体の目次(過去の記事の一覧)

演習問題Bの12(p.114,数学Ⅱ,数研,改訂版)

ーーーーーーー下のほうに、少し意見を書いてみました。------------------------------------------------------------------------- 問題 点を通り、円に接する直線の方程式と…

演習問題Bの11(p.114,数学Ⅱ,数研,改訂版)

問題 中心が第象限にあって,軸,軸および直線に接する円の方程式を求めよ。 解答 中心が第象限にあって,軸,軸に接することから,求める円の半径をとすると、円の方程式は と表される。 とすると,直線が円に接するための条件は,円の中心と直線の距離が円…

演習問題Bの10(p.114,数学Ⅱ,数研,改訂版)

問題 原点をつの頂点とする平行四辺形があり,直線は,直線はで表されている。このとき,平行四辺形の面積を求めよ。 解答 とする。はの交点で,これらを連立して解くと,その座標は また,を通り,に平行な直線の方程式は となる。はの交点で,これらを連立…

演習問題Bの9(p.114,数学Ⅱ,数研,改訂版)

問題 直線が点で交わるならば,点は,一直線上にあることを証明せよ。 解答 とする。を連立して解くと,直線の交点は この点は直線上にあるから、 より また,点を通る直線の方程式は すなわち より,点は直線上にある。 よって,点は,一直線上にある。 (…

演習問題Bの8(p.63,数学Ⅱ,数研,改訂版)

問題 次方程式が重解をもつとき,定数の値を求めよ。また,他の解を求めよ。 解答 が解であるから よって これを与方程式に代入して が解であることから,左辺はを因数にもつから とすると,もを解にもつから よって より また,をに代入して これを解くと,…