数学(理系)の第2問（2018東京大学入試）

　　　　　　　　　第　 $2$ 　問

　数列 $\; a_1,\; a_2,\; \cdots \cdots \;$ を

　　　　　　　　　 $\displaystyle a_n=\frac{{}_{2n+1} \mathrm{C}_n }{n\; ! } \qquad (n=1,\; 2,\; \cdots \cdots \; )$

で定める。

$(1) \; \; n \geqq 2 \;$ とする。 $\displaystyle \frac{a_n}{a_{n-1}} \;$ を既約分数 $\displaystyle \; \frac{q_n}{p_n} \;$ として表したときの分母 $\; p_n \geqq 1 \;$ と分子 $\; q_n \;$ を求めよ。

$(2) \; \; a_n \;$ が整数となる $\; n \geqq 1 \;$ をすべて求めよ。

解答

$(1) \; \; n \geqq 2 \;$ のとき、

$\displaystyle \frac{a_n}{a_{n-1}} \; =\frac{\frac{{}_{2n+1} \mathrm{C}_n }{n\; ! } }{\frac{{}_{2n-1} \mathrm{C}_{n-1} }{(n-1)\; ! } } =\frac{\frac{(2n+1)\; !}{(n+1)\; !\; n\; !\; n\; ! } }{\frac{(2n-1)\; !}{n\; !\; (n-1)\; !\; (n-1)\; ! } } =\frac{(2n+1)\; !\; n\; !\; (n-1)\; !\; (n-1)\; ! }{(2n-1)\; !\; (n+1)\; !\; n\; !\; n\; ! }=\frac{2n+1}{\frac{n(n+1)}{2}}$

ここで、 $\displaystyle p_n=\frac{n(n+1)}{2},\; \; q_n=2n+1\;$ とする。

$n \geqq 2 \;$ で $\; n,\; n+1\;$ のいずれか一方は正の偶数だから、 $p_n\;$ は正の整数で $\; p_n\geqq 1\;$ である。

また、 $2n+1\;$ を $\; n\;$ で割ると、商が $\; 2\;$ で余りが $\; 1\;$ だから、 $2n+1\;$ と $\; n\;$ の最大公約数は、 $2\;$ と $\; 1\;$ の最大公約数 $\; 1\;$ に等しい。

同様に、 $2n+1\;$ を $\; n+1\;$ で割ると、商が $\; 2\;$ で余りが $\; -1\;$ だから、 $2n+1\;$ と $\; n+1\;$ の最大公約数は、 $2\;$ と $\; -1\;$ の最大公約数 $\; 1\;$ に等しい。

よって、 $\displaystyle \frac{q_n}{p_n}\;$ は既約分数である。

以上より、 $\displaystyle p_n=\frac{n(n+1)}{2},\; \; q_n=2n+1\;$ である。

$(2) \; \; n=1 \;$ のとき、 $\displaystyle a_1=\frac{{}_{3} \mathrm{C}_1 }{1\; ! } =3$

$n \geqq 2 \;$ のとき、 $(1)$ より $\displaystyle \; a_n=a_{n-1}\times \frac{q_n}{p_n}\;$ だから

$n=2 \;$ のとき、 $\displaystyle a_2=a_1\times \frac{q_2}{p_2}=3\times \frac{5}{\frac{2\times 3}{2}}=5$

$n \geqq 3 \;$ のとき、 $\displaystyle a_n=a_2\times \frac{q_3}{p_3}\times \frac{q_4}{p_4}\times \cdots \cdots \times \frac{q_n}{p_n}$

ここで分子の積を考えると、 $a_2\times q_3\times q_4\times \cdots \cdots \times q_n=5\times 7\times 9\times \cdots \cdots \times (2n+1)$

次に分母の積は、 $\displaystyle p_3\times p_4\times \cdots \cdots \times p_n=\frac{3\times 4}{2}\times \frac{4\times 5}{2}\times \cdots \cdots \times \frac{n(n+1)}{2}$