数学(理系)の第4問（2018東京大学入試）

　　　　　　　　　第　 $4$ 　問

　 $a \gt 0 \;$ とし、

　　　　　　　　　　　　　 $f(x)=x^3-3a^2x$

とおく。次の $\; 2 \;$ 条件をみたす点 $\; (a,\; \; b) \;$ の動きうる範囲を求め、座標平面上に図示せよ。

　条件 $\; 1 \; : \;$ 方程式 $\; f(x)=b \;$ は相異なる $\; 3 \;$ 実数解をもつ。

　条件 $\; 2 \; : \;$ さらに、方程式 $\; f(x)=b \;$ の解を $\; \alpha \lt \beta \lt \gamma \;$ とすると $\; \beta \gt 1 \;$ である。

解答

$f'(x)=3x^2-3a^2=3(x+a)(x-a) \;$

（図は省略）

条件 $\; 1 \;$ より　 $f(-a)=-a^3+3a^3=2a^3 \gt b,\; \; f(a)=a^3-3a^3=-2a^3 \lt b$

また、条件 $\; 2 \;$ より　 $-a \lt \beta \lt a \;$ で、 $\beta \gt 1 \;$ だから　 $a \gt 1$

さらに、 $-a \lt 0 \;$ だから、 $\alpha \lt -a \lt 1 \lt \beta \;$ より　 $f(1)=1-3a^2 \gt b$

したがって、これらをみたす点 $\; (a,\; \; b) \;$ の動きうる範囲は

$y \gt -2x^3,\; \; y \lt 2x^3,\; \; y \lt -3x^2+1,\; \; x \gt 1$

の共通部分で、境界線は含まない。（図は省略）

ブログ全体の目次（過去の記事の一覧）

高校数学の解き方