数学(理系)の第6問（2018東京大学入試）

　　　　　　　　　第　 $6$ 　問

　座標空間内の $\; 4 \;$ 点 $\; \mathrm{O}\; (0,\; \; 0,\; \; 0),\; \mathrm{A}\; (1,\; \; 0,\; \; 0),\; \mathrm{B}\; (1,\; \; 1,\; \; 0),\; \mathrm{C}\; (1,\; \; 1,\; \; 1)\;$ を考える。

　 $\displaystyle \frac{1}{2}\lt r \lt 1 \;$ とする。点 $\; \mathrm{P} \;$ が線分 $\; \mathrm{OA},\; \mathrm{AB},\; \mathrm{BC}\;$ 上を動くときに、点 $\; \mathrm{P} \;$ を中心とする半径 $\; r \;$ の球（内部を含む）が通過する部分を、それぞれ $\; V_1,\; V_2,\; V_3 \;$ とする。

$(1)\;$ 平面 $\; y=t \;$ が $\; V_1,\; V_3 \;$ 双方と共有点をもつような $\; t \;$ の範囲を与えよ。さらに、この範囲の $\; t \;$ に対し、平面 $\; y=t \;$ と $\; V_1 \;$ の共通部分および、平面 $\; y=t \;$ と $\; V_3 \;$ の共通部分を同一平面上に図示せよ。

$(2)\; \; V_1\;$ と $\; V_3 \;$ の共通部分が $\; V_2 \;$ に含まれるための $\; r \;$ についての条件を求めよ。

$(3)\; \; r \;$ は $\; (2)\;$ の条件をみたすとする。 $V_1 \;$ の体積を $\; S \;$ とし、 $V_1 \;$ と $\; V_2 \;$ の共通部分の体積を $\; T \;$ とする。 $V_1,\; V_2,\; V_3 \;$ を合わせて得られる立体 $\; V \;$ の体積を $\; S \;$ と $\; T \;$ を用いて表せ。

$(4)\;$ ひきつづき $\; r \;$ は $\; (2)\;$ の条件をみたすとする。 $S \;$ と $\; T \;$ を求め、 $V \;$ の体積を決定せよ。

解答

$\displaystyle (1) \; \; \frac{1}{2}\lt r \lt 1 \;$ だから、半径 $\; r \;$ の球 $\; \mathrm{A},\; \mathrm{B} \;$ は交わる。

$2 \;$ 球の中心と平面 $\; y=t \;$ との距離は、それぞれ $\; t,\; 1-t \;$ である。

これらが半径 $\; r \;$ より小さいとき、平面 $\; y=t \;$ が $\; V_1,\; V_3 \;$ 双方と共有点をもつから　 $t \leqq r,\; \; 1-t \leqq r$

よって　 $1-r \leqq t \leqq r$

図は、 $xz \;$ 平面に、次の $\; 2 \;$ つの領域をかく。

半径 $\; \sqrt{r^2-t^2}\;$ の円が、中心が $\; (0,\; \; 0) \;$ から $\; (1,\; \; 0) \;$ へと移動する領域をかく。

また、半径 $\; \sqrt{r^2-(1-t)^2}\;$ の円が、中心が $\; (1,\; \; 0) \;$ から $\; (1,\; \; 1) \;$ へと移動する領域をかく。（図は省略）

$(2)\;$ 平面 $\; y=t \;$ と $\; V_2 \;$ の共通部分は半径 $\; r \;$ の円である。

$V_1 \;$ と $\; V_3 \;$ の共通部分がこの円に含まれるのは、 $(1)\;$ の図の点 $\; (1,\; \; 0) \;$ からもっとも離れた点までの距離が $\; r \;$ 以下であれば良い。

　　 $\left(\sqrt{r^2-t^2}\right)^2+\left(\sqrt{r^2-(1-t)^2}\right)^2 \leqq r^2$

よって、 $\displaystyle r^2 \leqq 2 \left( t- \frac{1}{2} \right)^2+\frac{1}{2}$

ここで、 $(1)\;$ より、 $\displaystyle \frac{1}{2}\lt r \lt 1 \;$ で、 $1-r \leqq t \leqq r\;$ をみたすすべての $\; t \;$ についてこの式が成り立つためには、 $\displaystyle t= \frac{1}{2}\;$ のときが右辺が最小だから、このとき　 $\displaystyle r^2 \leqq \frac{1}{2}\;$ である。

よって、 $\displaystyle \frac{1}{2}\lt r \leqq \frac{1}{\sqrt{2}}\;$

$(3)\; \; V_n \;$ の体積を $\; k(V_n), \; \; V_n \;$ と $\; V_m \;$ の共通部分を $\; V_n \cap V_m \;$ と表すとすると

$k(V_1)=k(V_2)=k(V_3)=S,\; k(V_1 \cap V_2)=k(V_2 \cap V_3)=T$

$(2)\;$ より、 $V_1 \cap V_3 \;$ が $\; V_2 \;$ に含まれるから、 $V_1 \cap V_2 \cap V_3 \;$ は　 $(V_1 \cap V_3) \cap V_2 \;$ で　 $V_1 \cap V_3 \;$ と同一である。したがって、

$V=k(V_1)+k(V_2)+k(V_3)-k(V_1 \cap V_2)-k(V_2 \cap V_3)-k(V_1 \cap V_3)+k(V_1 \cap V_2 \cap V_3)$

$\; \; \; =k(V_1)+k(V_2)+k(V_3)-k(V_1 \cap V_2)-k(V_2 \cap V_3)-k(V_1 \cap V_3)+k(V_1 \cap V_3)$

$\; \; \; =3S-2T$

$(4)\; \; V_1\;$ は、半径 $\; r \;$ の球と、底面が半径 $\; r \;$ の円で高さが $\; 1 \;$ の円柱に分けることができるから

　　 $\displaystyle S=\frac{4}{3} \pi r^3 + \pi r^2$

次に、平面 $\; z=s \;$ が $\; V_1,\; V_2 \;$ 双方と共有点をもつような範囲は $\; -r \leqq s \leqq r$

平面 $\; z=s \;$ 上の $\; V_1 \;$ と $\; V_2 \;$ の共通部分の図形は、半径 $\; \sqrt{r^2-s^2}\;$ の $\displaystyle \; \frac{3}{4} \;$ 円と、 $\; 1 \;$ 辺 $\; \sqrt{r^2-s^2}\;$ の正方形を合わせたものである。よって、