高校数学の解き方

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数学(理系)の第3問（2020同志社大学入試）

同志社大学入試

問題

　　　　　　　　　　第　3　問

　数列\; \{ a_n \} \; と、その初項から第\; n \; 項までの和\displaystyle \; S_n = \sum_{k=1}^n a_k \; \; (n=1,\; 2,\; 3,\; \cdots \; ) \; は、次の条件を満たしている。

　　　\; a_1 =2,\; \; 3a_{n+1} =S_n (1-2S_{n+1} )+1 \; \; (n=1,\; 2,\; 3,\; \cdots \; ) \;

このとき、次の問いに答えよ。

(1) \; \; a_2,\; \; S_2 \; の値を求めよ。

(2) \; \; S_{n+1} \; は、ある既約な分数式\; f(x) \; を用いて\; S_{n+1} =f(S_n) \; \; (n=1,\; 2,\; 3,\; \cdots \; )\; と表される。このとき、\; f(x) \; を求めよ。

(3) \; \; 定数\; r,\; \beta \; は\; r \neq 0,\; r \neq 1,\; \beta \neq 1 \; とする。\; (2) \; で求めた\; f(x) \; に対して、分数式\displaystyle \; g(x)= \frac{x+1}{ \beta x+1} \; は条件\; f(g(x))=g(rx) \; を満たす。このとき、\; r,\; \beta \; の値を求めよ。

(4) \; \; (3) \; で求めた\; g(x) \; に対して、数列\; \{ T_n \} \; は条件\; g(T_n)=S_n \; \; (n=1,\; 2,\; 3,\; \cdots \; ) \; を満たす。このとき、\; \{ T_n \} \; の一般項を求めよ。

(5) \; \; 極限値\displaystyle \; \; \lim_{n \to \infty} \frac{a_n}{T_n} \; を求めよ。

　

解答

(1) \; \; a_1 =2 \; より\; S_1 =a_1 =2 \;

\; S_2 =a_1 +a_2 =2+a_2 \;

これを\; n=1 \; の漸化式に代入して、

\; 3a_2 =S_1 (1-2S_2 )+1 \; より\; 3a_2 =2 \{ 1-2(2+a_2 ) \}+1 \;

よって、\displaystyle \; a_2 =- \frac{5}{7}, \; \; S_2 = \frac{9}{7} \;

　

(2) \; \; a_{n+1} =S_{n+1} -S_n \; を漸化式に代入して、

\; 3(S_{n+1} -S_n )=S_n (1-2S_{n+1} )+1 \; より\; (2S_n +3)S_{n+1} =4S_n +1 \;

\displaystyle \; S_n =- \frac{3}{2} \; のときこの式は成り立たないから

\displaystyle \; S_{n+1} = \frac{4S_n +1}{2S_n +3} \;

よって、\displaystyle \; f(x) = \frac{4x+1}{2x+3} \;

　

\displaystyle (3) \; \; f \big( g(x) \big) = \cfrac{4 \cdot \cfrac{x+1}{ \beta x+1}+1}{2 \cdot \cfrac{x+1}{ \beta x+1}+3} = \frac{(\beta +4)x+5}{(3\beta +2)x+5} \;

\displaystyle \; g(rx)= \frac{rx+1}{ \beta rx+1} \;

\; f\big( g(x) \big) =g(rx) \; より\displaystyle \; \frac{(\beta +4)x+5}{(3\beta +2)x+5} = \frac{rx+1}{ \beta rx+1}　\; だから

\; \beta r(\beta +4)x^2+(5\beta r+\beta +4)x+5=r(3\beta +2)x^2+(5r+3\beta +2)x+5 \;

これは\; x \; の恒等式だから、\; \beta r(\beta +4)=r(3\beta +2),\; \; 5\beta r+\beta +4=5r+3\beta +2 \;

\; r \neq 0 \; だから、前の式から\; \beta (\beta +4)=3\beta +2 \; より、\; (\beta -1)(\beta +2)=0 \;

\; \beta \neq 1 \; より\; \beta =-2 \;

\; \beta \neq 1 \; だから、後の式から\; (\beta -1)(5r-2)=0 \; より\displaystyle \; r= \frac{2}{5} \;

よって、\displaystyle r= \frac{2}{5}, \; \; \beta =-2 \;

　

(4) \; \; g(T_n)=S_n \; だから、\; g(T_{n+1})=S_{n+1} \;

(2) \; より\; S_{n+1} =f(S_n) \; だから、\; (4) \; より\; f(S_n)=f \big( g(T_n) \big) \;

\; (3) \; より\; f \big( g(T_n) \big) = g(rT_n)\;

以上より、\; g(T_{n+1}) = g(rT_n)\;

ここで、\displaystyle \; g(x)= \frac{x+1}{-2x+1} \; より\displaystyle \; x= \frac{g(x)-1}{2g(x)+1} \;

よって、\displaystyle \; T_{n+1}= \frac{g(T_{n+1})-1}{2g(T_{n+1})+1}, \; \; rT_n= \frac{g(rT_n)-1}{2g(rT_n)+1} \; だから、\; T_{n+1} =rT_n \;

したがって、\displaystyle \; T_{n+1} = \frac{2}{5} T_n \;

また、\displaystyle \; T_1= \frac{g(T_1)-1}{2g(T_1)+1} = \frac{S_1-1}{2S_1+1} = \frac{1}{5} \;

ゆえに、\displaystyle \; T_n= \frac{1}{5} \times \left( \frac{2}{5} \right)^{n-1} = \frac{1}{2} \times \left( \frac{2}{5} \right)^n \;

　

(5) \; \; n \rightarrow \infty \; だから\; n \geqq 2 \; としてよい。

\; a_n =S_n -S_{n-1} =g(T_n)-g(T_{n-1}) \;

\displaystyle \; = \frac{T_n+1}{-2T_n+1} - \frac{T_{n-1}+1}{-2T_{n-1}+1} = \frac{T_n+1}{-2T_n+1} - \frac{\frac{5}{2}T_n+1}{-5T_n+1} \;

\displaystyle \; = \frac{-9T_n}{(-2T_n+1)(-10T_n+2)} \;

よって、\displaystyle \; \; \lim_{n \to \infty} \frac{a_n}{T_n} = \lim_{n \to \infty} \frac{-9}{(-2T_n+1)(-10T_n+2)} \;

　　　　　　　　　\displaystyle = \lim_{n \to \infty} \cfrac{-9}{\left\{ -\left( \cfrac{2}{5} \right)^n+1 \right\} \left\{ -5\left( \cfrac{2}{5} \right)^n +2 \right\} }=- \frac{9}{2} \;

　

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