高校数学の解き方

高校数学の教科書や大学入試の問題を解いています。簡潔で分かりやすい解答、模範解答を目指します。

演習問題Bの8（p.63，数学Ⅱ，数研，改訂版）

数学Ⅱ　数研教科書改訂版複素数と方程式

問題

${\Large 8}.$ 　 $3\;$ 次方程式 $\; x^3+ax^2-5x+b=0\;$ が $\; 2\;$ 重解 $\; -1\;$ をもつとき，定数 $\; a,\; b\;$ の値を求めよ。また，他の解を求めよ。

　

解答

$-1\;$ が解であるから　 $(-1)^3+a \cdot (-1)^2-5 \cdot (-1)+b=0$

よって　 $b=-a-4\;\; \; \cdots (A)$

これを与方程式に代入して

　　　 $x^3+ax^2-5x-a-4=0$

$-1\;$ が解であることから，左辺は $\; x+1\;$ を因数にもつから

　　　 $(x+1)\{x^2+(a-1)x-a-4\}=0$

$x^2+(a-1)x-a-4=0\;\; \; \cdots (B)$

とすると， $(B)\;$ も $\; -1\;$ を解にもつから　 $(-1)^2+(a-1) \cdot (-1)-a-4=0$

よって　 $a=-1$

$(A)\;$ より　 $b=-3$

また， $a=-1\;$ を $\; (B)\;$ に代入して

　　　 $x^2-2x-3=0$

これを解くと，他の解は　 $x=3$

以上より、 $a=-1,\; b=-3,\;$ 他の解は $\; 3$

　

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