高校数学の解き方

高校数学の教科書や大学入試の問題を解いています。簡潔で分かりやすい解答、模範解答を目指します。

演習問題Bの9（p.114，数学Ⅱ，数研，改訂版）

数学Ⅱ　数研教科書改訂版図形と方程式

問題

${\Large 9}.$ 　 $3\;$ 直線 $\; x+2y=1,\; \; 3x-4y=1,\; \; ax+by=1\;$ が $\; 1\;$ 点で交わるならば， $3\;$ 点 $\;(1,\; \; 2),\; \; (3,\; \; -4),\; \; (a,\; \; b)\;$ は，一直線上にあることを証明せよ。

　

解答

$x+2y=1\; \; \cdots (1)$ 　　 $3x-4y=1\; \; \cdots (2)$ 　　 $ax+by=1\; \; \cdots (3)$

とする。 $(1),\; (2)\;$ を連立して解くと， $2\;$ 直線の交点は　 $\displaystyle \left( \frac{3}{5},\; \; \frac{1}{5}\right)$

この点は直線 $\; (3)\;$ 上にあるから、 $\displaystyle \frac{3}{5}a+\frac{1}{5}b=1$ 　より

　　　 $3a+b=5\; \; \cdots (4)$

また， $2\;$ 点 $\;(1,\; \; 2),\; \; (3,\; \; -4)\;$ を通る直線の方程式は

　　　 $\displaystyle y-2=\frac{-4-2\; }{\; 3-1\; }(x-1)$ 　すなわち　 $3x+y=5$

$(4)\;$ より，点 $\; (a,\; \; b)\;$ は直線 $\; 3x+y=5\;$ 上にある。

よって， $3\;$ 点 $\;(1,\; \; 2),\; \; (3,\; \; -4),\; \; (a,\; \; b)\;$ は，一直線上にある。　　　（証明終）

　

別解

$3\;$ 直線が $\; 1\;$ 点 $\;(m,\; \; n)\;$ で交わるとすると

　　　 $m+2n=1,\; \; 3m-4n=1,\; \; am+bn=1$

これらの式は、 $3\;$ 点 $\;(1,\; \; 2),\; \; (3,\; \; -4),\; \; (a,\; \; b)\;$ を， $mx+ny=1\;$ に代入して成り立つことを示している。

したがって，これら $3\;$ 点は一直線 $\; mx+ny=1\;$ 上にある。　　（証明終）

　

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