高校数学の解き方

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演習問題Bの8（p.123，数学Ⅰ，数研，改訂版）

数学Ⅰ　数研教科書改訂版 2次関数

問題

{\Large 8}.\; \; a\; は正の定数とする。関数\; y=|x^2-4x| \; \; (0 \leqq x \leqq a) \; の最大値を求めよ。

　

解答

x \leqq 0,\; \; 4 \leqq x \; のとき、\; y=x^2-4x \; 、0 \lt x \lt 4 \; のとき、\; y=-x^2+4x \; となる。

この\; 2 \; 次関数の頂点は、\; x=2 \; のとき、\; y=4 \;
\; y=4 \; となるのは、これ以外に\; 4 \lt x \; では、\; x=2+2\sqrt{2} \;

（図は省略）

グラフより、

0 \lt a \lt 2 \; のとき、\; x=a \; で最大値\; -a^2+4a \;

2 \leqq a \lt 2+2\sqrt{2} \; のとき、\; x=2 \; で最大値\; 4 \;

a=2+2\sqrt{2} \; のとき、\; x=2, \; 2+2\sqrt{2} \; で最大値\; 4 \;

2+2\sqrt{2} \lt a \; のとき、\; x=a \; で最大値\; a^2-4a \;

　

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