高校数学の解き方

高校数学の教科書や大学入試の問題を解いています。簡潔で分かりやすい解答、模範解答を目指します。

問題

${\Large 9}.\; \; x \;$ の $\; 2\;$ 次関数 $\; y=2x^2+4mx+3m\;$ がある。

$(1)$ 　この $\; 2\;$ 次関数の最小値 $\; l\;$ を， $m\;$ の式で表せ。

$(2)\; \; \; \, m\;$ の値を変化させて， $(1)\;$ における最小値 $\; l\;$ が最も大きくなるときの $\; m\;$ の値と，そのときの $\; l\;$ の値を求めよ。

解答

$(1)\; \; \; \, y=2x^2+4mx+3m=2(x+m)^2-2m^2+3m$

　　このグラフは下に凸の放物線だから， $x=-m\;$ で最小となり，最小値は

　　 $l=-2m^2+3m$

$\displaystyle (2)\; \; \; \, l=-2m^2+3m=-2\left( m-\frac{3}{4}\right) ^2+\frac{9}{8}$

　　このグラフは上に凸の放物線だから

　　 $\displaystyle m=\frac{3}{4}\;$ で最大となり，最大値 $\displaystyle \; l=\frac{9}{8}$

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