高校数学の解き方

高校数学の教科書や大学入試の問題を解いています。簡潔で分かりやすい解答、模範解答を目指します。

演習問題Bの11（p.123，数学Ⅰ，数研，改訂版）

数学Ⅰ　数研教科書改訂版 2次関数

問題

${\Large 11}.$ 　 $a\neq 0\;$ とする。 $2\;$ つの方程式 $\; ax^2-3x+a=0,\;\; x^2-ax+a^2-3a=0\;$ について次の条件が成り立つように、定数 $\; a\;$ の値の範囲を定めよ。

$(1)\; \; 2\;$ つの方程式がともに実数解をもつ。

$(2)\; \; 2\;$ つの方程式の少なくとも一方が実数解をもつ。

$(3)\; \; 2\;$ つの方程式の一方だけが実数解をもつ。

　

解答

$2\;$ つの方程式は $\; a\neq 0\;$ でともに $\; 2\;$ 次方程式だから， $ax^2-3x+a=0,\;\; x^2-ax+a^2-3a=0\;$ の判別式をそれぞれ $\; D_1,\; D_2\;$ とすると

　　 $D_1=-4a^2+9=-(2a+3)(2a-3)$

　　 $D_2=-3a^2+12a=-3a(a-4)$

　

$(1)\; \; 2\;$ つの方程式がともに実数解をもつのは， $\; a\neq 0\;$ で、 $\; D_1\geqq 0\;$ かつ $\; D_2\geqq 0\;$ である。

　　 $D_1\geqq 0\;$ より　 $-(2a+3)(2a-3)\geqq 0\;$ だから　 $(2a+3)(2a-3)\leqq 0$

　　よって　 $\displaystyle -\frac{3}{2}\leqq a\leqq \frac{3}{2}$

　　 $a\neq 0\;$ だから　 $\displaystyle -\frac{3}{2}\leqq a\lt 0,\;\; 0\lt a\leqq \frac{3}{2}\; \; \cdots (A)$

　　 $D_2\geqq 0\;$ より　 $-3a(a-4)\geqq 0\;$ だから　 $3a(a-4)\leqq 0$

　　よって　 $0\leqq a\leqq 4$

　　 $a\neq 0\;$ だから　 $0\lt a\leqq 4\; \; \cdots (B)$

　　 $(A),\; \; (B)\;$ の共通範囲を求めて　 $\displaystyle 0\lt a\leqq \frac{3}{2}$

　

$(2)\; \; 2\;$ つの方程式の少なくとも一方が実数解をもつのは、 $\; a\neq 0\;$ で、 $\; D_1\geqq 0\;$ または $\; D_2\geqq 0\;$ である。

　　 $(A),\; \; (B)\;$ の範囲を合わせて　 $\displaystyle -\frac{3}{2}\leqq a\lt 0,\;\; 0\lt a\leqq 4$

　

$(3)\; \; 2\;$ つの方程式の一方だけが実数解をもつのは、 $\; (2)\;$ の範囲のうち、 $\; (1)\;$ の範囲でないものとなる。

　　 $\displaystyle -\frac{3}{2}\leqq a\lt 0,\;\; \frac{3}{2}\lt a\leqq 4$

　

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