高校数学の解き方

高校数学の教科書や大学入試の問題を解いています。簡潔で分かりやすい解答、模範解答を目指します。

演習問題Bの12（p.123，数学Ⅰ，数研，改訂版）

数学Ⅰ　数研教科書改訂版 2次関数

問題

${\Large 12}.$ 　 $2\;$ 次方程式 $\; x^2-mx-m+8=0\;$ が次のような実数解をもつように，定数 $\; m\;$ の値の範囲を求めよ。

$(1)$ 　異なる $\; 2\;$ つの正の解

$(2)$ 　異なる $\; 2\;$ つの負の解

$(3)$ 　正の解と負の解

　

解答

$f(x)=x^2-mx-m+8\;$ とすると　 $\displaystyle f(x)=\left( x-\frac{m}{2}\right) ^2-\frac{m^2}{4}-m+8$

よって， $y=f(x)\;$ のグラフは下に凸の放物線で，軸は $\displaystyle \; x=\frac{m}{2}\;$ である。

　

$(1)$ 　この $\; 2\;$ 次方程式が異なる $\; 2\;$ つの正の解をもつのは，このグラフが $\; x\;$ 軸の正の部分と異なる $\; 2\;$ 点で交わるときである。それは，次の $\; [1],\; [2],\; [3]\;$ が同時に成り立つときである。

$[1]\;$ 　グラフと $\; x\;$ 軸が異なる $\; 2\;$ 点で交わる。

　　　これは判別式 $\; D\;$ が正であればよい。

　　　 $D=m^2+4m-32=(m+8)(m-4)\gt 0$

　　　よって　 $m\lt -8,\; \; 4\lt m\; \; \cdots (A)$

$[2]\;$ 　グラフの軸が $\; y\;$ 軸より右側にある。

　　　 $\displaystyle \frac{m}{2}\gt 0$

　　　よって　 $m\gt 0\; \; \cdots (B)$

$[3]\;$ 　グラフと $\; y\;$ 軸の交点の $\; y\;$ 座標が正である。

　　　 $f(0)=-m+8\gt 0$

　　　よって　 $m\lt 8\; \; \cdots (C)$

$(A),\; (B),\; (C)\;$ の共通範囲を求めて　 $4\lt m\lt 8$

　

$(2)$ 　この $\; 2\;$ 次方程式が異なる $\; 2\;$ つの負の解をもつのは，このグラフが $\; x\;$ 軸の負の部分と異なる $\; 2\;$ 点で交わるときである。それは $\; (1)\;$ の $\; [2]\;$ 部分を、「グラフの軸が $\; y\;$ 軸より左側にある。」に変えればよい。

　　　 $\displaystyle \frac{m}{2}\lt 0$

　　　よって　 $m\lt 0\; \; \cdots (B\; ')$

$(A),\; (B\; '),\; (C)\;$ の共通範囲を求めて　 $m\lt -8$

　

$(3)$ 　この $\; 2\;$ 次方程式が正の解と負の解をもつのは，このグラフが $\; x\;$ 軸の正の部分と負の部分の $\; 2\;$ 点で交わるときである。これは，このグラフが $\; y\;$ 軸の負の部分で交わるときに成り立つことである。

　　　 $f(0)=-m+8\lt 0$

よって　 $m\gt 8$

　

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