数学(理系)の第1問（2020東京大学入試）

問題

　　　　　　　　　　第　 $1$ 　問

　 $a,\; b,\; c,\; p \;$ を実数とする。不等式

　　　　 $ax^2+bx+c \gt 0$

　　　　 $bx^2+cx+a \gt 0$

　　　　 $cx^2+ax+b \gt 0$

をすべて満たす実数 $\; x \;$ の集合と、 $x \gt p \;$ を満たす実数 $\; x \;$ の集合が一致しているとする。

$(1) \; \; a,\; b,\; c \;$ はすべて $\; 0 \;$ 以上であることを示せ。

$(2) \; \; a,\; b,\; c \;$ のうち少なくとも $\; 1 \;$ 個は $\; 0 \;$ であることを示せ。

$(3) \; \; p=0 \;$ であることを示せ。

解答

$A= \{ x|ax^2+bx+c \gt 0 \},\; \; B= \{ x|bx^2+cx+a \gt 0 \},$

$C= \{ x|cx^2+ax+b \gt 0 \},\; \; P= \{ x|x \gt p \}$

とすると、題意より、 $A \supset (A \cap B \cap C)=P \; \; \; \cdots (\ast)$

$(1) \; \;$ 「 $a,\; b,\; c \;$ はすべて $\; 0 \;$ 以上である。」を否定して、「 $a,\; b,\; c \;$ のうち少なくとも $\; 1 \;$ 個は負である。」とする。不等式の対称性から、 $a \lt 0 \;$ として良い。

$ax^2+bx+c=0 \;$ の判別式 $\; D \;$ が、 $\; D \gt 0 \;$ となるとき、 $\; 2 \;$ つの解を $\; \alpha, \; \beta \; (\alpha \lt \beta) \;$ とすると、

　　　 $A= \{ x|\alpha \lt x \lt \beta \}$

となる。このとき、 $\; x \gt \beta, \; \; x \gt p \;$ を満たす $\; x=x_1 \;$ を選ぶことができ、

　　　 $x_1 \notin A, \; \; x_1 \in P$

となり、 $(\ast) \;$ に矛盾する。

また、 $\; D \leqq 0 \;$ となるとき、 $A= \phi \;$ となり、 $(\ast) \;$ より $\; P= \phi \;$ となり矛盾する。

よって、 $a,\; b,\; c \;$ はすべて $\; 0 \;$ 以上である。

$(2) \; \;$ 「 $a,\; b,\; c \;$ のうち少なくとも $\; 1 \;$ 個は $\; 0 \;$ である。」を否定して、「 $a,\; b,\; c \;$ はすべて正である。」とする。 $a \gt 0,\; b\gt 0,\; c\gt 0 \;$ のとき、

$\displaystyle x \lt -\frac{b}{a} \;$ ならば、 $\displaystyle ax^2+bx+c=ax \left( x+ \frac{b}{a} \right) +c \gt 0 \;$ となる。

他も同様だから、 $\displaystyle x \lt -\frac{b}{a}, \; \; x \lt -\frac{c}{b},\; \; x \lt -\frac{a}{c}, \; \; x \leqq p \;$ を満たす $\; x=x_2 \;$ を選ぶことができ、

　　　 $x_2 \in (A \cap B \cap C), \; \; x_2 \notin P$

となり、 $(\ast) \;$ に矛盾する。

よって、 $a,\; b,\; c \;$ のうち少なくとも $\; 1 \;$ 個は $\; 0 \;$ である。

$(3) \; \; (\mathrm{i}) \; \; a,\; b,\; c \;$ がすべて $\; 0 \;$ の場合

$A=B=C= \phi \;$ となり、 $(\ast) \;$ より $\; P= \phi \;$ となり矛盾する。

$(\mathrm{ii}) \; \; a,\; b,\; c \;$ のうち $\; 2 \;$ 個が $\; 0 \;$ の場合

不等式の対称性から、 $a=b=0, \; c \gt 0 \;$ として良い。

$A= \{ x|c \gt 0 \},\; \; B= \{ x|cx \gt 0\},\; \; C= \{ x|cx^2 \gt 0 \}$

だから、 $A \cap B \cap C= \{ x|x \gt 0 \}$

よって、 $\; p=0 \;$

$(\mathrm{iii}) \; \; a,\; b,\; c \;$ のうち $\; 1 \;$ 個が $\; 0 \;$ の場合

不等式の対称性から、 $a=0, \; b \gt 0, \; c \gt 0 \;$ として良い。

$\displaystyle A= \{ x|bx+c \gt 0 \} = \{x|x \gt -\frac{c}{b} \}$ ,

$\displaystyle B= \{ x|bx^2+cx \gt 0 \} = \{ x|x \lt -\frac{c}{b}, \; x \gt 0 \}$ ,

$C= \{ x|cx^2+b \gt 0 \} = \{ x|x \;$ はすべての実数 $\; \}$

だから、 $A \cap B \cap C= \{ x|x \gt 0 \}$

よって、 $\; p=0 \;$

したがって、 $(\mathrm{i}), \; (\mathrm{ii}), \; (\mathrm{iii}) \;$ より、 $\; p=0 \;$

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