数学(理系)の第2問（2020東京大学入試）

問題

　　　　　　　　　　第　 $2$ 　問

　平面上の点 $\; \mathrm{P},\; \mathrm{Q},\; \mathrm{R} \;$ が同一直線上にないとき、それらを $\; 3 \;$ 頂点とする三角形の面積を $\; \bigtriangleup \mathrm{PQR} \;$ で表す。また、 $\; \mathrm{P},\; \mathrm{Q},\; \mathrm{R} \;$ が同一直線上にあるときは、 $\; \bigtriangleup \mathrm{PQR}=0 \;$ とする。

　 $\; \mathrm{A},\; \mathrm{B},\; \mathrm{C} \;$ を平面上の $\; 3 \;$ 点とし、 $\; \bigtriangleup \mathrm{ABC}=1 \;$ とする。この平面上の点 $\; \mathrm{X} \;$ が

　　　　 $2 \leqq \; \bigtriangleup \mathrm{ABX} \; +\bigtriangleup \mathrm{BCX} \; +\bigtriangleup \mathrm{CAX} \; \leqq 3$

を満たしながら動くとき、点 $\; \mathrm{X} \;$ の動きうる範囲の面積を求めよ。

解答

$S= \; \bigtriangleup \mathrm{ABX} \; +\bigtriangleup \mathrm{BCX} \; +\bigtriangleup \mathrm{CAX} \;$ とすると、

　　　 $2 \leqq \; S \; \leqq 3 \; \; \; \cdots \;$ （ア）

辺 $\; \mathrm{BC} \;$ 上に点 $\; \mathrm{D} \;$ をとり、 $\; \overrightarrow{\mathrm{AX}}=k \; \overrightarrow{\mathrm{AD}} \;$ とすると、

　　　 $\; \overrightarrow{\mathrm{AD}}=s \; \overrightarrow{\mathrm{AB}}+t \; \overrightarrow{\mathrm{AC}}, \; \; \; s+t=1, \; \; s \geqq 0, \; \; t \geqq 0 \; \; \; \cdots \;$ （イ）

　　　 $\; \overrightarrow{\mathrm{AX}}=ks \; \overrightarrow{\mathrm{AB}}+kt \; \overrightarrow{\mathrm{AC}}, \; \; \; ks+kt=k, \; \; ks \geqq 0, \; \; kt \geqq 0 \; \; \; \cdots \;$ （ウ）

と表せる。

$\; (\mathrm{i}) \; \; \; 0 \leqq k \leqq 1 \;$ のとき、点 $\; \mathrm{X} \;$ は $\; \bigtriangleup \mathrm{ABC} \;$ の内部または周上にある。

$\; S=1 \;$ だから、（ア）を満たさない。

$\; (\mathrm{ii}) \; \; \; 1 \lt k \;$ のとき、点 $\; \mathrm{X} \;$ は $\; 2 \;$ 半直線 $\; \mathrm{AB}, \; \mathrm{AC} \;$ に挟まれた部分で、 $\; \bigtriangleup \mathrm{ABC} \;$ の外部にあるから、

　　　 $\; S+ \; \bigtriangleup \mathrm{ABC} \; =2( \; \bigtriangleup \mathrm{ABX} \; +\bigtriangleup \mathrm{CAX} \; ) \;$

より、 $\; S+1=2( \;$ 四角形 $\; \mathrm{ABXC} \; ) \;$

だから、（ア）より、 $\displaystyle \frac{3}{2} \leqq ( \;$ 四角形 $\; \mathrm{ABXC} \; ) \leqq 2 \;$

ここで、 $( \;$ 四角形 $\; \mathrm{ABXC} \; ) =\; \bigtriangleup \mathrm{ABX} \; +\bigtriangleup \mathrm{CAX} \;$

　　　 $\; =k \; \bigtriangleup \mathrm{ABD} \; +k \; \bigtriangleup \mathrm{CAD} \; =k \; \bigtriangleup \mathrm{ABC} \; =k \times 1=k$

だから、 $\displaystyle \frac{3}{2} \leqq k \leqq 2 \;$

点 $\; \mathrm{D} \;$ が（イ）を満たしながら動くとき、点 $\; \mathrm{X} \;$ は（ウ）より、

　　　 $\displaystyle \frac{3}{2} \leqq ks+kt \leqq 2, \; \; ks \geqq 0, \; \; kt \geqq 0$

を満たしながら動く。

（図は省略）

よって、点 $\; \mathrm{X} \;$ の動きうる範囲の面積は、

　　　 $\displaystyle \left\{ 2^2- \left( \frac{3}{2} \right) ^2 \right\} \; \times \bigtriangleup \mathrm{ABC} = \left( \; 4- \frac{9}{4} \right) \times 1= \frac{7}{4}$

$\; (\mathrm{iii}) \; \; \; k \lt 0 \;$ のとき、 $\; \mathrm{BA}, \; \mathrm{CA} \;$ の延長上に点 $\; \mathrm{B} \, ', \; \mathrm{C} \, ' \;$ をとると、点 $\; \mathrm{X} \;$ は $\; 2 \;$ 半直線 $\; \mathrm{AB} \, ', \; \mathrm{AC} \, ' \;$ に挟まれた部分にあるから、

　　　 $\; S+ \; \bigtriangleup \mathrm{ABC} \; =2 \; \bigtriangleup \mathrm{BCX} \;$

より、 $\; S+1=2 \; \bigtriangleup \mathrm{BCX} \;$

だから、（ア）より、 $\displaystyle \frac{3}{2} \leqq \; \bigtriangleup \mathrm{BCX} \leqq 2 \;$

ここで、 $\; \overrightarrow{\mathrm{XD}}=\; \overrightarrow{\mathrm{AD}}- \; \overrightarrow{\mathrm{AX}}= \; \overrightarrow{\mathrm{AD}}-k \; \overrightarrow{\mathrm{AD}}=(1-k) \; \overrightarrow{\mathrm{AD}} \;$ だから、

　　　 $\; \bigtriangleup \mathrm{BCX} \; =(1-k) \; \bigtriangleup \mathrm{ABC} \; =(1-k) \times 1=1-k$

だから、 $\displaystyle \frac{3}{2} \leqq 1-k \leqq 2 \;$ より $\displaystyle \; -1 \leqq k \leqq -\frac{1}{2} \;$

点 $\; \mathrm{D} \;$ が（イ）を満たしながら動くとき、点 $\; \mathrm{X} \;$ は（ウ）より、

　　　 $\displaystyle -1 \leqq ks+kt \leqq -\frac{1}{2}, \; \; ks \geqq 0, \; \; kt \geqq 0$

を満たしながら動く。

（図は省略）

よって、点 $\; \mathrm{X} \;$ の動きうる範囲の面積は、

　　　 $\displaystyle \left\{ 1- \left( \frac{1}{2} \right) ^2 \right\} \; \times \bigtriangleup \mathrm{ABC} = \left( \; 1- \frac{1}{4} \right) \times 1= \frac{3}{4}$