数学(理系)の第5問（2020東京大学入試）

問題

　　　　　　　　　　第　 $5$ 　問

　座標空間において、 $\; xy \;$ 平面上の原点を中心とする半径 $\; 1 \;$ の円を考える。この円を底面とし、点 $\; (0, \; 0, \; 2) \;$ を頂点とする円錐（内部を含む）を $\; S \;$ とする。また、点 $\; \mathrm{A}(1, \; 0, \; 2)\;$ を考える。

$(1) \; \;$ 点 $\; \mathrm{P} \;$ が $\; S \;$ の底面を動くとき、線分 $\; \mathrm{AP} \;$ が通過する部分を $\; T \;$ とする。平面 $\; z=1 \;$ による $\; S \;$ の切り口および、平面 $\; z=1 \;$ による $\; T \;$ の切り口を同一平面上に図示せよ。

$(2) \; \;$ 点 $\; \mathrm{P} \;$ が $\; S \;$ を動くとき、線分 $\; \mathrm{AP} \;$ が通過する部分の体積を求めよ。

解答

$(1) \; \; S \;$ は、底面が原点 $\; \mathrm{O} \;$ を中心とした半径 $\; 1 \;$ の円で、頂点は原点から $\; z \;$ 軸正の方向に $\; 2 \;$ の位置にある。この頂点を $\; \mathrm{B}(0, \; 0, \; 2) \;$ とする。

平面 $\; z=1 \;$ による $\; S \;$ の切り口は、線分 $\; \mathrm{OB} \;$ の中点を通ることから、中心 $\; (0, \; 0, \; 1) \;$ 、半径 $\displaystyle \; \frac{1}{2} \;$ の円となる。

また、 $\; T \;$ は底面が $\; S \;$ と共通で、頂点が $\; \mathrm{A}(1, \; 0, \; 2) \;$ である円錐である。

平面 $\; z=1 \;$ による $\; T \;$ の切り口は、線分 $\; \mathrm{OA} \;$ の中点を通ることから、中心 $\displaystyle \; \left( \frac{1}{2}, \; 0, \; 1 \right) \;$ 、半径 $\displaystyle \; \frac{1}{2} \;$ の円となる。

これらを $\; xy \;$ 平面に図示する。

$\; S \;$ の切り口は、中心 $\; (0, \; 0) \;$ 、半径 $\displaystyle \; \frac{1}{2} \;$ の円の周および内部で、 $\displaystyle \; x^2+y^2= \left( \frac{1}{2} \right)^2 \;$

$\; T \;$ の切り口は、中心 $\displaystyle \; \left( \frac{1}{2}, \; 0 \right) \;$ 、半径 $\displaystyle \; \frac{1}{2} \;$ の円の周および内部で、 $\displaystyle \; \left(x-\frac{1}{2} \right)^2+y^2= \left( \frac{1}{2} \right)^2 \;$

（図は省略）

$(2) \; \;$ 平面 $\; z=t \; \; (0 \leqq t \leqq 2) \;$ による $\; S, \; T \;$ の切り口は、 $\; (1) \;$ のように円となり、それぞれ円 $\; C, \; D \;$ とする。

円 $\; C \;$ は、中心 $\; (0, \; 0) \;$ 、半径 $\displaystyle \; \left(1-\frac{t}{2} \right)\;$ の円で、 $\displaystyle \; x^2+y^2= \left( 1-\frac{t}{2} \right)^2 \;$

円 $\; D \;$ は、中心 $\displaystyle \; \left( \frac{t}{2}, \; 0 \right) \;$ 、半径 $\displaystyle \; \left(1-\frac{t}{2} \right)\;$ の円で、 $\displaystyle \; \left(x-\frac{t}{2} \right)^2+y^2= \left( 1-\frac{t}{2} \right)^2 \;$

$\; S \;$ の底面上の点を $\; \mathrm{E} \;$ とする。

線分 $\; \mathrm{BE} \;$ と円 $\; C \;$ 、線分 $\; \mathrm{AE} \;$ と円 $\; D \;$ の交点をそれぞれ $\; \mathrm{F, \; G} \;$ とする。

点 $\; \mathrm{P} \;$ が線分 $\; \mathrm{EF} \;$ 上を動くとき、線分 $\; \mathrm{AP} \;$ と平面 $\; z=t \;$ との交点は、線分 $\; \mathrm{GF} \;$ 上を動く。

$\bigtriangleup \mathrm{EAB} \;$ 上の線分 $\; \mathrm{GF} \;$ の長さは $\displaystyle \; \frac{t}{2} \;$ で、 $\; 2 \;$ 円 $\; C,\; D\;$ の中心間の距離に等しい。

点 $\; \mathrm{E} \;$ が $\; S \;$ の底面の円周および内部を動くとき、点 $\; \mathrm{F, \; G} \;$ はそれぞれ円 $\; C, \; D \;$ の円周および内部を動く。

以上より、平面 $\; z=t \;$ 上の線分 $\; \mathrm{AP} \;$ が通過する部分は、縦横それぞれ $\displaystyle \; 2\left(1-\frac{t}{2} \right), \; \; \frac{t}{2} \;$ の長方形を、半径 $\displaystyle \; \left(1-\frac{t}{2} \right) \;$ の半円 $\; 2 \;$ つがはさんでいる図になる。

（図は省略）

その面積を $\; S(t) \;$ とする。

$\displaystyle S(t)= 2\left(1-\frac{t}{2} \right) \times \frac{t}{2} + \pi \left(1-\frac{t}{2} \right)^2 = t\left(1-\frac{t}{2} \right)+ \pi \left(1-\frac{t}{2} \right)^2 \;$