数学(理系)の第6問（2020東京大学入試）

問題

　　　　　　　　　　第　 $6$ 　問

　以下の問いに答えよ。

$(1) \; \; A, \; \alpha \;$ を実数とする。 $\; \theta \;$ の方程式

　　　 $\; A \sin 2\theta -\sin (\theta +\alpha )=0\;$

を考える。 $\; A \gt 1 \;$ のとき、この方程式は $\; 0 \leqq \theta \lt 2\pi \;$ の範囲に少なくとも $\; 4 \;$ 個の解を持つことを示せ。

$(2) \; \;$ 座標平面上の楕円

　　　 $\displaystyle \; C: \; \; \; \frac{\; x^2}{2} +y^2=1 \;$

を考える。また、 $\; 0 \lt r \lt 1 \;$ を満たす実数 $\; r \;$ に対して、不等式

　　　 $\; 2x^2+y^2 \lt r^2 \;$

が表す領域を $\; D \;$ とする。 $\; D \;$ 内のすべての点 $\; \mathrm{P} \;$ が以下の条件を満たすような実数 $\; r \; \; (0 \lt r \lt 1) \;$ が存在することを示せ。また、そのような $\; r \;$ の最大値を求めよ。

　条件： $\; C \;$ 上の点 $\; \mathrm{Q} \;$ で、 $\; \mathrm{Q} \;$ における $\; C \;$ の接線と直線 $\; \mathrm{PQ} \;$ が直交するようなものが少なくとも $\; 4 \;$ 個ある。

解答

$(1) \; \; f(\theta )=A \sin 2\theta -\sin (\theta +\alpha ) \;$ とすると、 $\; 0 \leqq \theta \lt 2\pi \;$ の範囲で連続である。

$\; A \gt 1 \;$ だから、 $\displaystyle \; f(0)=-\sin \alpha, \; \; f \left(\frac{\pi}{4} \right)=A-\sin \left(\frac{\pi}{4} +\alpha \right) \gt 0, \;$

$\displaystyle \; f \left(\frac{3\pi}{4} \right)=-A-\sin \left(\frac{3\pi}{4} +\alpha \right) \lt 0, \; \; f \left(\frac{5\pi}{4} \right)=A-\sin \left(\frac{5\pi}{4} +\alpha \right) \gt 0, \;$

$\displaystyle \; f \left(\frac{7\pi}{4} \right)=-A-\sin \left(\frac{7\pi}{4} +\alpha \right) \lt 0, \; \; f(2\pi )=-\sin \alpha \;$

よって、 $\displaystyle \; \frac{\pi}{4} \lt \theta \lt \frac{3\pi}{4}, \; \; \frac{3\pi}{4} \lt \theta \lt \frac{5\pi}{4}, \; \; \frac{5\pi}{4} \lt \theta \lt \frac{7\pi}{4} \;$ に解をもつ。

さらに、 $\; -\sin \alpha \leqq 0 \;$ のとき、 $\displaystyle \; 0 \leqq \theta \lt \frac{\pi}{4} \;$ に解をもち、

$\; -\sin \alpha \gt 0 \;$ のとき、 $\displaystyle \; \frac{7\pi}{4} \lt \theta \lt 2\pi \;$ に解をもつ。

以上より、この方程式は $\; 0 \leqq \theta \lt 2\pi \;$ の範囲に少なくとも $\; 4 \;$ 個の解を持つ。　　　（証明終）

$(2) \; \; 0 \leqq \theta \lt 2\pi \;$ のとき、 $\; \mathrm{Q} ( \sqrt{2} \cos \theta, \; \sin \theta )\;$ と表せる。 $\; \mathrm{Q} \;$ における $\; C \;$ の接線の方程式は

　　　 $\displaystyle \; \frac{\sqrt{2} \cos \theta}{2} \cdot x +\sin \theta \cdot y=1 \; \; \cdots \;$ （ア）

一方、 $\; 0 \leqq \alpha \lt 2\pi \;$ のとき、 $\displaystyle \; \mathrm{Q} \left( \frac{t}{\sqrt{2}} \cos (-\alpha), \; t\sin (-\alpha) \right)\;$ とおくと、点 $\; \mathrm{Q} \;$ は、次の式を満たしている。

　　　 $\; 2x^2+y^2=t^2 \; \; (0 \leqq t \lt r) \;$

よって、直線 $\; \mathrm{PQ} \;$ の方程式は

　　　 $\displaystyle \; (t\sin (-\alpha) -\sin \theta )(x- \sqrt{2} \cos \theta )$

　　　　　　　　 $\displaystyle \; -\left( \frac{t}{\sqrt{2}}\cos (-\alpha) - \sqrt{2} \cos \theta \right)(y- \sin \theta )=0 \; \; \cdots \;$ （イ）

（ア）と（イ）が直交するには、

　　　 $\displaystyle \; \frac{\cos \theta}{\sqrt{2} } (t\sin (-\alpha) -\sin \theta )-\sin \theta \left( \frac{t}{\sqrt{2}}\cos (-\alpha) - \sqrt{2} \cos \theta \right) =0 \; \; \cdots \;$ （ウ）

$\; t=0 \;$ のとき、（ウ）は $\; \sin 2\theta =0 \;$ となる。

$\displaystyle \; \theta =0, \; \; \frac{\pi}{2}, \; \; \pi, \; \; \frac{3\pi}{2} \;$ だから、 $\; C \;$ 上の点 $\; \mathrm{Q} \;$ が $\; 4 \;$ 個ある。

$\; 0 \lt t \lt r \;$ のとき、（ウ）を整理すると、

　　　 $\displaystyle \; \frac{1}{2t} \sin 2\theta -\sin (\theta +\alpha )=0 \; \; \cdots \;$ （エ）

となる。よって、 $\; (1) \;$ より、 $\displaystyle \; \frac{1}{2t} \gt 1 \;$ とき、つまり $\displaystyle \; t \lt \frac{1}{2} \;$ のとき、 $\; 0 \leqq \theta \lt 2\pi \;$ の範囲に少なくとも $\; 4 \;$ 個の解を持つ。