複素数の問題 - 高校数学の解き方

Yahoo!知恵袋に投稿された質問です。

問題の画像が荒くてはっきりとしません。
こんな問題ではないかと予想して解きます。
問題が違っていても、参考になるように丁寧に解きます。

問題

$\mathrm{A}(-1+2i),\; \mathrm{B}(a+bi)\;$ とする。次の問いに答えよ。

$(1)\; \; w=(2-2z)i\;$ とする。点 $\; z\;$ が点 $\; \mathrm{A}\;$ を中心とする半径 $\; 1\;$ の円の周上を動くとき、点 $\; w\;$ はある円周上を動く。この円 $\; K\;$ の中心と半径を求めよ。

　　　中心 $\; \fbox{　1　}+\fbox{　2　}i,\; \;$ 半径 $\; \fbox{　3　}$

$(2)\; \; (1)\;$ の円 $\; K\;$ の中心を $\; \mathrm{C}\;$ とする。点 $\; \mathrm{B}\;$ が虚軸上にあり、 $\; 2\;$ 直線 $\; \mathrm{AB},\; \mathrm{AC}\;$ が垂直に交わるとき、実数 $\; a,\; b\;$ の値を求めよ。

　　　 $\displaystyle (a,\; b)=\left( \fbox{　4　},\; -\frac{\fbox{　5　} }{\fbox{　6　} } \right)$

$(3)\; \;$ 点 $\; \mathrm{B}\;$ が円 $\; K\;$ の円周上にあり、 $\; 3\;$ 点 $\; \mathrm{A},\; \mathrm{B},\; \mathrm{C}\;$ が一直線上にあるとき、実数 $\; a,\; b\;$ の値を求めよ。

　　　 $\displaystyle (a,\; b)=\left( \fbox{　7　} \pm \frac{\fbox{　8　}\fbox{　9　} }{\sqrt{\fbox{　10　}\fbox{　11　}} },\; \; \fbox{　12　} \pm \frac{\fbox{　13　} }{\sqrt{\fbox{　14　}\fbox{　15　}} } \right)\; \;$ （複合同順）

解答

$(1) \; \;$ 点 $\; \alpha \;$ を中心とする半径 $\; r \;$ の円の方程式は

　　　 $|z- \alpha |=r$

である。点 $\; z\;$ は、点 $\; \mathrm{A}(-1+2i)\;$ を中心とする半径 $\; 1\;$ の円の円周上を動くから、

　　　 $|z- (-1+2i) |=1\; \; \; \cdots (\ast)$

$w=(2-2z)i\;$ を変形して、 $\displaystyle \; z=1- \frac{w }{2i }\; \;$

これを $\; (\ast) \;$ に代入して、

　　　 $\displaystyle \Bigl|1- \frac{w }{2i }- (-1+2i) \Bigr|=1 \;$

両辺に $\; |-2i| \;$ をかけると、

　　　 $\displaystyle |-2i|\Bigl|1- \frac{w }{2i }- (-1+2i) \Bigr|=|-2i| \;$

　　　 $|w-(4+4i)|=2 \;$

よって、円 $\; K\;$ は中心 $\; 4+4i, \;$ 半径 $\; 2\;$ の円である。

$(2) \; \;$ 異なる $\; 3\;$ 点 $\mathrm{A}(\alpha),\; \mathrm{B}(\beta),\; \mathrm{C}(\gamma)\;$ に対して、 $\; 2\;$ 直線 $\; \mathrm{AB},\; \mathrm{AC}\;$ が垂直に交わるとき、

　　　 $\displaystyle \frac{\beta -\alpha }{\gamma -\alpha } \;$ が純虚数

である。点 $\; \mathrm{B}\;$ が虚軸上にあるから、 $\; a=0, \; \mathrm{B}(bi)\;$ となり、 $\; \mathrm{A}(-1+2i),\; \mathrm{C}(4+4i)\;$ だから、

　　　 $\displaystyle \frac{bi -(-1+2i) }{(4+4i) -(-1+2i) } \;$

　　　 $\displaystyle =\frac{2b+1 }{29 }+\frac{5b-12 }{29 }i \;$

これが純虚数だから、 $\displaystyle \; 2b+1=0 \;$

よって、 $\displaystyle \; b=-\frac{1 }{2 } \;$

ゆえに、 $\displaystyle (a,\; b)=\left( 0,\; -\frac{1}{2} \right)$

$(3) \; \;$ 異なる $\; 3\;$ 点 $\mathrm{A}(\alpha),\; \mathrm{B}(\beta),\; \mathrm{C}(\gamma)\;$ に対して、 $\; 3\;$ 点 $\mathrm{A},\; \mathrm{B},\; \mathrm{C}\;$ が一直線上にあるとき、