数学の第5問（2020東京都公立高校入試）

2020東京都公立高校入試の数学の問題を解きました。数多くの解説サイトの5番の解答は複雑です。もっと簡単に解いてみます。

　求める立体は四角錐ですが、高さを求めるのが複雑です。その上、根号がつきます。底面の面積にも根号がつきます。これはこの体積を、直接求めようとすることに原因があります。立方体や直方体の内部にできる三角錐や四角錐は、まわりを切り落とすことでできていることがほとんどです。したがって、体積の計算も、全体から切り落としたまわりの部分を引いてやると求まることが多いのです。

　これから出版される、いわゆる「赤本」では、どのように解説されるでしょうか。注目したいと思います。私は、中学生にはあまり複雑な計算や解法を求めたくありません。

問題

　　　　　　　　　　第　　問

　右の図に示した立体は、の直方体である。頂点と頂点を結び、線分上にある点をとする。辺上にあり、頂点に一致しない点をとする。頂点と点、点と点、点と点をそれぞれ結ぶ。次の各問に答えよ。

〔問〕　次のの中の「く」「け」「こ」に当てはまる数字をそれぞれ答えよ。

　点が頂点と、点が頂点とそれぞれ一致するとき、の面積は、である。

〔問〕　次のの中の「さ」「し」「す」に当てはまる数字をそれぞれ答えよ。

　右の図は、図において、点を通り辺に平行な直線を引き、辺との交点をとし、頂点と点、頂点と点、点と点をそれぞれ結んだ場合を表している。

　のとき、立体の体積は、である。

解答

　　

　　だから　

　　よって、

　　　　　　（答）

　直方体から、三角柱と、点を頂点とするつの四角錐を引くと、求める立体の体積を求めることができる。

直方体の体積は、

三角柱の体積は、

台形とをそれぞれ底面とし、頂点をとする四角錐の体積は、つ合わせて、

　　　

長方形とをそれぞれ底面とし、頂点をとするつの四角錐の体積は、それぞれ高さがとだから、

　　　

以上より、求める立体の体積は、

　　　　　　（答）

追記　赤本は、一か月前にすでに発売されていました。

東京都公立高校2021年度【過去問7年分】（東京学参）ですね。お持ちの方は、上の問題の解説がどうなっているのか教えてくださいませんか。大変興味があります。

 

 

　 

 　

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