高校数学の解き方

高校数学の教科書や大学入試の問題を解いています。簡潔で分かりやすい解答、模範解答を目指します。

市松模様が高校入試に

 「鬼滅の刃」の影響でしょうか。2021年度京都府公立高校中期入試の数学第6問では、市松模様を題材にしたと思われる問題が出題されました。それに気づけばあっさりと解けますが、そうでないと苦戦したのではないでしょうか。では、解いてみます。

問題 

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解答

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問題の図形をこのように塗ると市松模様になる。

この市松模様\;\;4\;番目の図形の黒は\;\;5^2\;枚、白は\;\;4^2\;枚である。

新たに黒く塗ったのは\;\;3^2\;枚だから、もとの図形の\mathrm{A}\;\;\;(5^2-3^2)\;枚、\mathrm{B}\;\;\;(4^2+3^2)\;枚となる。

このように考えて、市松模様n\;番目の図形の黒は\;\;(n+1)^2\;枚、白は\;\;n^2\;枚である。

新たに黒く塗ったのは\;\;(n-1)^2\;枚だから、もとの問題の図形の\mathrm{A}\;\;\;\{(n+1)^2-(n-1)^2\}\;枚、\mathrm{B}\;\;\;\{n^2+(n-1)^2\}\;枚である。

 

(1)\; \; n=5 \; のときだから

   6^2-4^2=36-16=20 \;(答)\; 20 \;

(2)\; \; n=9 \; のときだから

   9^2+8^2=81+64=145 \;(答)\; 145 \;

(3)\; \; n \; 番目の図形だとすると

   \{n^2+(n-1)^2\}-\{(n+1)^2-(n-1)^2\}=1009 \;

これを解くと、

   n^2-3n-504=0 \;

   (n+21)(n-24)=0 \;

   n\gt0 \;だから n=24 \; (答)\; 24 \;番目の図形

 

追記(2021.3.18)

解答の冒頭部分の説明を、より分かりやすく書き直しました。

 

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