算数の第5問（2021灘中学校入試）

2021年度灘中学校入試問題を解いてみました。中学入試問題は、注意深く解かないと、数学の概念を使ってしまいます。そうならないよう、算数の範囲で解きました。

問題

次の問題の $\; \boxed{\phantom{kuu}}\;$ に当てはまる数を求めなさい。

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解答

$\; 15 \;$ で割った余りが $\; 1 \;$ になる整数は、 $\; 3 \;$ で割った余りが $\; 1 \;$ で、 $\; 5 \;$ で割った余りも $\; 1 \;$ になる数である。

$A$	$1$	$2$	$3$	$4$	$5$	$6$	$7$	$8$	$9$	$10$	$11$	$12$	$13$	$14$	$15$
$A \times A$ を $3$ で割った余り	$1$	$1$	$0$	$1$	$1$	$0$	$1$	$1$	$0$	$1$	$1$	$0$	$1$	$1$	$0$
$A \times A$ を $5$ で割った余り	$1$	$4$	$4$	$1$	$0$	$1$	$4$	$4$	$1$	$0$	$1$	$4$	$4$	$1$	$0$

このうち、 $\; A \times A \;$ を $\; 3 \;$ で割った余りが $\; 1 \;$ で、 $\; 5 \;$ で割った余りも $\; 1 \;$ になる整数 $\; A \;$ は、 $\; 1,\; 4,\; 11,\; 14 \;$ の $\; 4 \;$ 個ある。また、 $\; A \;$ が $\; 1,\; 4,\; 11,\; 14 \;$ のとき、 $\; A \times A \;$ を $\; 15 \;$ で割った余りが $\; 1 \;$ になる。

表を見ると、 $\; A \times A \;$ を $\; 3 \;$ で割った余りは、 $\; A \;$ が $\; 3 \;$ の倍数ごとに繰り返し、 $\; A \times A \;$ を $\; 5 \;$ で割った余りは、 $\; A \;$ が $\; 5 \;$ の倍数ごとに繰り返す。よって、この表以後、 $\; 15 \;$ の倍数ごとに、 $\; 105 \;$ までに $\; 7 \;$ 回繰り返す。ただし、このうち $\; 1,\; 4,\; 101,\; 104 \;$ は2桁の整数ではないから、

　　　　　 $\; 4 \times 7-4=24 \;$ （個）

が、 $A \times A$ を $15$ で割った余りが $\; 1 \;$ となる整数 $\; A \;$ の数である。

　　　　　　　　　　　　　　　(答)　 $\; 24 \;$ （個）

感想

剰余類は高校の内容、合同式は高校でも発展扱い（学習指導要領外）です。これらの知識がある人が、この概念を使わないで解くのは難しいでしょう。それを知らいない小学生の方が、むしろうまく解くのではないかと思います。

もう少し詳しく書くと、上では3の倍数かつ5の倍数が15の倍数であることを利用しています。これをしないで、15で割った余りだけに着目すると、剰余類の考え方を使うことになります。それを避けるとなると、15で割った余りを並べて、繰り返しが起こることを確認します。そうすると、Aが45になるくらいまで調べることになるでしょう。それでは入試のとき時間が足りません。もちろん全部やってみるのは論外です。そう考えると、なかなか良い問題ではないでしょうか。