算数の第9問（2021灘中学校入試）

2021年度灘中学校入試問題を解いてみました。中学入試問題は、注意深く解かないと、数学の概念を使ってしまいます。そうならないよう、算数の範囲で解きました。

問題

次の問題の $\; \boxed{\phantom{kuu}}\;$ に当てはまる数を求めなさい。

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解答

三角形 $\; \mathrm{ABC} \;$ の面積が $\; 80 \; \mathrm{cm^2} \;$ だから、 $\; \mathrm{BC} \;$ を底辺とする高さは

　　　 $\; 80 \times 2 \div 20=8 \; (\mathrm{cm}) \;$

である。図は次のように $\; 2 \;$ 通り考えられる。また、 $\; \mathrm{B, \; F} \;$ から $\; \mathrm{DE} \;$ へ、 $\; \mathrm{A} \;$ から $\; \mathrm{BC} \;$ への垂線をひき、それぞれ $\; \mathrm{BH}, \; \mathrm{FI}, \; \mathrm{AJ} \;$ とする。

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上側の図において、 $\; \mathrm{AF} : \mathrm{FC} =1:3 \;$ より、三角形 $\; \mathrm{ABF} \;$ の面積は、

　　　 $\displaystyle \; 80 \times \frac{1}{4} =20 \; (\mathrm{cm^2}) \;$

だから、 $\; \mathrm{AD} : \mathrm{DB} =(20-10):10=1:1 \;$ である。また、三角形 $\; \mathrm{BCF} \;$ の面積は、

　　　 $\displaystyle \; 80 \times \frac{3}{4} =60 \; (\mathrm{cm^2}) \;$

だから、 $\; \mathrm{BE} : \mathrm{EC} =(60-35):35=5:7 \;$ である。

よって、三角形 $\; \mathrm{BED} \;$ の面積は、

　　　 $\displaystyle \; 80 \times \frac{1}{2} \times \frac{5}{12} = \frac{50}{3} \; (\mathrm{cm^2}) \;$

である。また、三角形 $\; \mathrm{DEF} \;$ の面積は、

　　　 $\displaystyle \; 80- \left( 10+35+ \frac{50}{3} \right) = \frac{55}{3} \; (\mathrm{cm^2}) \;$

である。よって、三角形 $\; \mathrm{BED} \;$ と三角形 $\; \mathrm{DEF} \;$ の面積の比は、

　　　 $\displaystyle \; \frac{50}{3} : \frac{55}{3} =10:11 \;$

である。底辺を共通の $\; \mathrm{DE} \;$ とすると、これらの三角形の高さの比は、

　　　 $\mathrm{BH} : \mathrm{FI} =10:11 \;$

である。三角形 $\; \mathrm{FGI} \;$ は三角形 $\; \mathrm{BGH} \;$ を拡大した図形になっていて、

　　　 $\; 11 \div 10=1.1 \;$

だから、 $\; 1.1 \;$ 倍となっている。よって、 $\; \mathrm{GF} \;$ の長さは $\; \mathrm{BG} \;$ の長さの $\; 1.1 \;$ 倍である。

また、下側の図においても、まったく同じようにして解けて、同じ答えになる。

　　　　　　　　　　　　　　　　　(答) $\; 1.1 \;$ 倍

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上の図において、 $\; \mathrm{BF} \;$ と $\; \mathrm{DE} \;$ が垂直であるかどうかの検討は、算数の範囲では難しいので、数学（ベクトル）でやることにした。

$\; \overrightarrow{\mathrm{BA}} = \overrightarrow{a} ,\; \overrightarrow{\mathrm{BC}} = \overrightarrow{c} \;$ とする。

　　　 $\displaystyle \; \frac{1}{2} \times 20 \times 12 \times \sin \mathrm{B} =80 \;$

より、 $\displaystyle \; \sin \mathrm{B} = \frac{2}{3} \;$ だから、 $\displaystyle \; \cos \mathrm{B} = \pm \frac{\sqrt{5}}{3} \;$

　　　 $\; \overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{c} =|\overrightarrow{a}||\overrightarrow{c}| \cos \mathrm{B} \;$

　　　 $\displaystyle \; =12 \times 20 \times \left( \pm \frac{\sqrt{5}}{3} \right) \;$

　　　 $\; = \pm 80 \sqrt{5} \;$

$\displaystyle \; \overrightarrow{\mathrm{DE}} = \frac{5}{12} \overrightarrow{c} - \frac{1}{2} \overrightarrow{a} , \; \overrightarrow{\mathrm{BF}} = \frac{3}{4} \overrightarrow{a} + \frac{1}{4} \overrightarrow{c} \;$ だから、

$\displaystyle \; \overrightarrow{\mathrm{DE}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{BF}} = \left( \frac{5}{12} \overrightarrow{c} - \frac{1}{2} \overrightarrow{a} \right) \cdot \left( \frac{3}{4} \overrightarrow{a} + \frac{1}{4} \overrightarrow{c} \right) \;$

　　　　　 $\displaystyle \; = \frac{3}{16} \overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{c} + \frac{5}{48} |\overrightarrow{c}|^2 - \frac{3}{8} |\overrightarrow{a}|^2 \;$

　　　　　 $\displaystyle \; = \frac{3}{16} \left( \pm 80 \sqrt{5} \right) + \frac{5}{48} \times 20^2 - \frac{3}{8} \times 12^2 \;$

　　　　　 $\displaystyle \; = \pm 15 \sqrt{5} - \frac{37}{3} \neq 0 \;$

よって、 $\; \mathrm{BF} \;$ と $\; \mathrm{DE} \;$ は垂直ではない。

感想

数学の概念を使って解くときは、 $\; \mathrm{AB} =12 \mathrm{cm} , \; \mathrm{BC} =20 \mathrm{cm} \;$ は必要ない。この2辺の長さが違う長さであっても、他の条件を満たしていれば、答も解き方も変わらない。それは数学の概念、とくに相似の考え方を使っているからである。三角形の形がどんな形であっても、必要な条件さえ満たしていれば、同じ答えになる。

ところが、算数では、三角形の形がどんな形であっても結果が同じになることの基礎になる相似という概念を学習していない。もちろんベクトルも知らない。したがって、 $\; \mathrm{AB} =12 \mathrm{cm} , \; \mathrm{BC} =20 \mathrm{cm} \;$ を与えることによって、 $\; 2 \;$ つの図形に限定するのである。図形が確定すれば、余計な概念を使わなくても、算数の範囲で解ける問題になる。