算数の第1問(4)（2021開成中学校入試）

2021年度開成中学校入試問題を解いてみました。中学入試問題は注意深く解かないと、中学や高校の数学の概念を使ってしまいます。そうならないよう、算数の範囲で解きました。

問題

次の問いに答えなさい。

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解答

$\displaystyle \; \frac{1}{9998} \;$ を小数にするため、割り算をする。 $\; 1 \;$ を $\; 9998 \;$ で割った商は、 $\; 0.0001 \;$ で、余りは $\; 0.0002 \;$ となる。続けて割り算をすると、その余り $\; 0.0002 \;$ を $\; 9998 \;$ で割った商は、 $\; 0.00000002 \;$ で、あまりは $\; 0.00000004 \;$ となる。さらに続けると以下のようになる。

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これをさらに続けていくと、商には規則的な数字が表れる。商に現れる数は小数第何位までか（商の位と言うことにする）ということと、それはどんな数か（商の数と言うことにする）ということを調べると、商の位が $\; 4 \;$ けた進むごとに商の数は $\; 2 \;$ 倍になっていることが分かる。よって、表は次のようになる。

$商の位$	$商の数$	$\,$	$商の位$	$\; \; 商の数$	$\,$	$商の位$	$\; \; \; \; \; 商の数$
$\; \, \; \, \; \, \; \, 4$	$\; \, \; \, \; \, \; \, 1$	$\,$	$\; \, \; \, \; \, 44$	$\; \, \; \, 1024$	$\,$	$\; \, \; \, \; \, 84$	$\; \, 1048576$
$\; \, \; \, \; \, \; \, 8$	$\; \, \; \, \; \, \; \, 2$	$\,$	$\; \, \; \, \; \, 48$	$\; \, \; \, 2048$	$\,$	$\; \, \; \, \; \, 88$	$\; \, 2097152$
$\; \, \; \, \; \, 12$	$\; \, \; \, \; \, \; \, 4$	$\,$	$\; \, \; \, \; \, 52$	$\; \, \; \, 4096$	$\,$	$\; \, \; \, \; \, 92$	$\; \, 4194304$
$\; \, \; \, \; \, 16$	$\; \, \; \, \; \, \; \, 8$	$\,$	$\; \, \; \, \; \, 56$	$\; \, \; \, 8192$	$\,$	$\; \, \; \, \; \, 96$	$\; \, 8388608$
$\; \, \; \, \; \, 20$	$\; \, \; \, \; \, 16$	$\,$	$\; \, \; \, \; \, 60$	$\; \, 16384$	$\,$	$\; \, \; \, 100$	$16777216$
$\; \, \; \, \; \, 24$	$\; \, \; \, \; \, 32$	$\,$	$\; \, \; \, \; \, 64$	$\; \, 32768$	$\,$	$\; \, \; \, 104$	$33554432$
$\; \, \; \, \; \, 28$	$\; \, \; \, \; \, 64$	$\,$	$\; \, \; \, \; \, 68$	$\; \, 65536$	$\,$	$\;$	$\;$
$\; \, \; \, \; \, 32$	$\; \, \; \, 128$	$\,$	$\; \, \; \, \; \, 72$	$131072$	$\,$	$\;$	$\;$
$\; \, \; \, \; \, 36$	$\; \, \; \, 256$	$\,$	$\; \, \; \, \; \, 76$	$262144$	$\,$	$\;$	$\;$
$\; \, \; \, \; \, 40$	$\; \, \; \, 512$	$\,$	$\; \, \; \, \; \, 80$	$524288$	$\,$	$\;$	$\;$

この表より、小数第 $\; 48 \;$ 位の「商の数」は「 $\; 2048 \;$ 」となっている。これは、小数第 $\; 44 \;$ 位までの割り算終了後、小数第 $\; 48 \;$ 位までの割り算をするとき、商の小数第 $\; 48 \;$ 位に $\; 2048 \;$ が立つということを示している。よって、小数第 $\; 48 \;$ 位が $\; 8 \;$ で、小数第 $\; 47 \;$ 位が $\; 4 \;$ 、小数第 $\; 46 \;$ 位が $\; 0 \;$ 、小数第 $\; 45 \;$ 位が $\; 2 \;$ となる。

　　　　　(答)小数第 $\; 48 \;$ 位の数は $\; 8 \;$

同様にして、小数第 $\; 56 \;$ 位に $\; 8192 \;$ が立ち、小数第 $\; 60 \;$ 位に $\; 16384 \;$ が立つから、小数第 $\; 56 \;$ 位には $\; 2 \;$ と $\; 1 \;$ が立つから、実際の筆算ではこの $\; 2 \;$ つを合わせて $\; 3 \;$ が立つ。