算数の第2問（2021開成中学校入試）

2021年度開成中学校入試問題を解いてみました。中学入試問題は注意深く解かないと、中学や高校の数学の概念を使ってしまいます。そうならないよう、算数の範囲で解きました。

問題

次の問いに答えなさい。

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解答

$(1) \;$

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頂点が $\; \mathrm{a} \;$ 、底面が直角二等辺三角形 $\; \mathrm{きGg} \;$ の三角すい $\; \mathrm{a-きGg} \;$ （図では赤）を直接求める。その体積は、

　　　 $\; (6 \times 6 \div 2) \times 6 \div 3=36 \;$

　　　　　　　　(答) $\; 36 \; \mathrm{cm^3} \;$

$(2) \;$

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立方体から、余分な部分を $\; 4 \;$ つ切り取る。

$\; 1 \;$ つ目の立体は、 $(1) \;$ の三角すい（図では赤）で、体積は $\; 36 \; \mathrm{cm^3} \;$ である。

$\; 2 \;$ つ目の立体は、頂点が $\; \mathrm{ウ} \;$ 、底面が直角二等辺三角形 $\; \mathrm{きキG} \;$ の三角すい $\; \mathrm{ウ-きキG} \;$ （図では青）で、その体積は、

　　　 $\; (6 \times 6 \div 2) \times 4 \div 3=24 \; (\mathrm{cm^3}) \;$

$\; 3 \;$ つ目の立体は、頂点が $\; \mathrm{a} \;$ 、底面が台形 $\; \mathrm{アあきウ} \;$ の四角すい $\; \mathrm{a-アあきウ} \;$ （図では紫）で、その体積は、

　　　 $\; \{ (2+6) \times 6 \div 2 \} \times 6 \div 3=48 \; (\mathrm{cm^3}) \;$

$\; 4 \;$ つ目の立体は、頂点が $\; \mathrm{a} \;$ 、底面が台形 $\; \mathrm{アAGウ} \;$ の四角すい $\; \mathrm{a-アAGウ} \;$ （図では緑）で、その体積は $\; 3 \;$ つ目の立体と同じで、 $\; 48 \; (\mathrm{cm^3}) \;$

立方体の体積は、

　　　 $\; 6 \times 6 \times 6=216 \; (\mathrm{cm^3}) \;$

だから、求める三角すいの体積は、

　　　 $\; 216-(36+24+48 \times 2)=60 \;$

　　　　　　　　(答) $\; 60 \; \mathrm{cm^3} \;$

$(3) \;$

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立方体から、余分な部分を $\; 5 \;$ つ切り取る。

$\; 1 \;$ つ目の立体は、直方体 $\; \mathrm{あアAa-いイBb} \;$ （図では赤）で、その体積は、

　　　 $\; 6 \times 6 \times 1=36 \; \mathrm{cm^3} \;$

$\; 2 \;$ つ目の立体は、頂点が $\; \mathrm{い} \;$ 、底面が台形 $\; \mathrm{BイオC} \;$ の四角すい $\; \mathrm{い-BイオC} \;$ （図では青）で、その体積は、

　　　 $\; \{ (1+3) \times 6 \div 2 \} \times 6 \div 3=24 \; (\mathrm{cm^3}) \;$

$\; 3 \;$ つ目の立体は、頂点が $\; \mathrm{い} \;$ 、底面が台形 $\; \mathrm{BbgC} \;$ の四角すい $\; \mathrm{い-BbgC} \;$ （図では紫）で、その体積は、

　　　 $\; \{ (1+5) \times 6 \div 2 \} \times 6 \div 3=36 \; (\mathrm{cm^3}) \;$

$\; 4 \;$ つ目の立体は、頂点が $\; \mathrm{g} \;$ 、底面が台形 $\; \mathrm{オいきキ} \;$ の四角すい $\; \mathrm{g-オいきキ} \;$ （図では緑）で、その体積は、

　　　 $\; \{ (2+5) \times 6 \div 2 \} \times 6 \div 3=42 \; (\mathrm{cm^3}) \;$

$\; 5 \;$ つ目の立体は、頂点が $\; \mathrm{g} \;$ 、底面が台形 $\; \mathrm{キGCオ} \;$ の四角すい $\; \mathrm{g-キGCオ} \;$ （図では黄）で、その体積は、

　　　 $\; \{ (2+4) \times 6 \div 2 \} \times 6 \div 3=36 \; (\mathrm{cm^3}) \;$

立方体の体積は、

　　　 $\; 6 \times 6 \times 6=216 \; (\mathrm{cm^3}) \;$

だから、求める三角すいの体積は、

　　　 $\; 216-(36+24+36+42+36)=42 \;$

　　　　　　　　(答) $\; 42 \; \mathrm{cm^3} \;$

追記　問題文には三角すいの体積の公式の記述はありますが、四角すいについてはありません。角すいの体積は中学1年で学習する内容ですから、無条件で四角すいの体積の公式を使うのは良くありません。投稿直前に気づきましたが、いったんこのまま投稿します。底面の四角形は対角線を一本引くと三角形2つになるので、三角すい2つがくっついて四角すいになっていると考える。これでも良いかもしれません。ただ、算数の範囲で解くと宣言していますから、四角すいが出てこない解き方をしようと思います。三角すいの体積の公式だけ使った解き方は、すでに思いついていますが、ここに投稿するには、いろいろと準備（数式や図を投稿するのは、文章だけと違って大変なんです。）が必要です。あらためて別解として投稿するつもりです。