算数の第3問（2021開成中学校入試）

2021年度開成中学校入試問題を解いてみました。中学入試問題は注意深く解かないと、中学や高校の数学の概念を使ってしまいます。そうならないよう、算数の範囲で解きました。

問題

次の問いに答えなさい。

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解答

この問題は、 $\; 2 \;$ 進法のたし算を題材にしている。 $\; \mathrm{A} \;$ 君のカードが表す $\; 2 \;$ 進数と $\; \mathrm{B} \;$ 君のカードが表す $\; 2 \;$ 進数の和が、スコアスペースのカードが表す $\; 2 \;$ 進数となり、審判のカードはたし算の筆算の際の繰り上がりを表している。ただ、 $\; 2 \;$ 進法は高校数学 $\; \mathrm{A} \;$ で学習する概念で、この問題を解く小学生は知らない。したがって、 $\; 2 \;$ 進法を知らない前提で、算数の範囲で解いてみる。

例として示されたものを、 $\; 1 \;$ つの表にまとめる。ただし、審判に渡されるカードが同じカード $\; 2 \;$ 枚なので、その数字を $\; 1 \;$ つだけ表に書き込むことにする。 $\; 2 \;$ つとも書き込むには、すでに書いてある数字を訂正することになるが、それをしなくてもスコアに影響はない。

　　　　　操作前　　　　　　　　　　　操作後

$\; \mathrm{A}君$	$\;$	$0$	$0$	$1$	$\;$	$\; \mathrm{A}君$	$\;$	$0$	$0$	$1$
$\; \mathrm{B}君$	$\;$	$1$	$0$	$1$	$\Rightarrow$	$\; \mathrm{B}君$	$\;$	$1$	$0$	$1$
$\; 審判$	$\;$	$\;$	$\;$	$0$	$\;$	$\; 審判$	$0$	$0$	$1$	$0$
$スコア$	$\;$	$\;$	$\;$	$\;$	$\;$	$スコア$	$\;$	$1$	$1$	$0$

問題文に書かれている「操作」を、この表に合わせると次のようになる。

操作前の表の右端の縦に並んだ $\; 3 \;$ つの数字のうち、 $\; 1 \;$ が $\; 0 \;$ 個なら、その下のスコアに $\; 0 \;$ 、左隣の列の審判に $\; 0 \;$ を書く。

同様に、 $\; 1 \;$ が $\; 1 \;$ 個ならスコアに $\; 1 \;$ 、左隣の審判に $\; 0 \;$ を、 $\; 1 \;$ が $\; 2 \;$ 個ならスコアに $\; 0 \;$ 、左隣の審判に $\; 1 \;$ を、 $\; 1 \;$ が $\; 3 \;$ 個ならスコアに $\; 1 \;$ 、左隣の審判に $\; 1 \;$ をそれぞれ書く。

その後、左隣の列の縦に並んだ $\; 3 \;$ つの数字について同様の操作をする。縦に並んだ $\; 3 \;$ つの数字がなくなるまで、これを繰り返す。

$(1) \;$ この表でやると次のようになる。

　　　　　　操作前　　　　　　　　　　　　　操作後

$\; \mathrm{A}君$	$\;$	$0$	$1$	$0$	$1$	$\;$	$\; \mathrm{A}君$	$\;$	$0$	$1$	$0$	$1$
$\; \mathrm{B}君$	$\;$	$0$	$0$	$0$	$0$	$\Rightarrow$	$\; \mathrm{B}君$	$\;$	$0$	$0$	$0$	$0$
$\; 審判$	$\;$	$\;$	$\;$	$\;$	$0$	$\;$	$\; 審判$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$
$スコア$	$\;$	$\;$	$\;$	$\;$	$\;$	$\;$	$スコア$	$\;$	$0$	$1$	$0$	$1$

　　　　　(答) $\; 0101 \;$

$(2) \;$ この表でやると次のようになる。

　　　　　　　　操作前　　　　　　　　　　　　　　　　操作後

$\; \mathrm{A}君$	$\;$	$0$	$0$	$1$	$0$	$0$	$1$	$\;$	$\; \mathrm{A}君$	$\;$	$0$	$0$	$1$	$0$	$0$	$1$
$\; \mathrm{B}君$	$\;$	$0$	$1$	$0$	$0$	$0$	$1$	$\Rightarrow$	$\; \mathrm{B}君$	$\;$	$0$	$1$	$0$	$0$	$0$	$1$
$\; 審判$	$\;$	$\;$	$\;$	$\;$	$\;$	$\;$	$0$	$\;$	$\; 審判$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$	$1$	$0$
$スコア$	$\;$	$\;$	$\;$	$\;$	$\;$	$\;$	$\;$	$\;$	$スコア$	$\;$	$0$	$1$	$1$	$0$	$1$	$0$

　　　　　(答) $\; 011010 \;$

$(3) \;$ この表でやると次のようになる。

　　　　　　　　操作前　　　　　　　　　　　　　　　　操作後

$\; \mathrm{A}君$	$\;$	$0$	$0$	$1$	$0$	$0$	$1$	$\;$	$\; \mathrm{A}君$	$\;$	$0$	$0$	$1$	$0$	$0$	$1$
$\; \mathrm{B}君$	$\;$	$\;$	$\;$	$\;$	$\;$	$\;$	$\;$	$\Rightarrow$	$\; \mathrm{B}君$	$\;$	$1$	$1$	$0$	$1$	$1$	$0$
$\; 審判$	$\;$	$\;$	$\;$	$\;$	$\;$	$\;$	$0$	$\;$	$\; 審判$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$
$スコア$	$\;$	$1$	$1$	$1$	$1$	$1$	$1$	$\;$	$スコア$	$\;$	$1$	$1$	$1$	$1$	$1$	$1$

　　　　　(答) $\; 110110 \;$

$(4) \;$ 縦に並んだ $\; 3 \;$ つの数字の中に $\; 1 \;$ があると、スコアが $\; 1 \;$ になるか左隣の審判が $\; 1 \;$ になる。つまり、 $\; 1 \;$ がある列かそれより左の列のスコアか審判が $\; 1 \;$ になる。

$\; 001001 \;$ には $\; 1 \;$ が $\; 2 \;$ か所あるから、左の $\; 1 \;$ より左の列のスコアが $\; 1 \;$ になり、それ以外は $\; 0 \;$ となるときだけ、 $\; \mathrm{B} \;$ 君が勝ちで得点 $\; 1 \;$ になる。つまり、スコアは $\; 100000 \;$ かまたは $\; 010000 \;$ の $\; 2 \;$ 通りである。

$\; \mathrm{B} \;$ 君の手札を、上の表を使って求める。

　　　　　　　　操作前　　　　　　　　　　　　　　　　操作後

$\; \mathrm{A}君$	$\;$	$0$	$0$	$1$	$0$	$0$	$1$	$\;$	$\; \mathrm{A}君$	$\;$	$0$	$0$	$1$	$0$	$0$	$1$
$\; \mathrm{B}君$	$\;$	$\;$	$\;$	$\;$	$\;$	$\;$	$\;$	$\Rightarrow$	$\; \mathrm{B}君$	$\;$	$0$	$1$	$0$	$1$	$1$	$1$
$\; 審判$	$\;$	$\;$	$\;$	$\;$	$\;$	$\;$	$0$	$\;$	$\; 審判$	$0$	$1$	$1$	$1$	$1$	$1$	$0$
$スコア$	$\;$	$1$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$	$\;$	$スコア$	$\;$	$1$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$

　　　　　　　　操作前　　　　　　　　　　　　　　　　操作後

$\; \mathrm{A}君$	$\;$	$0$	$0$	$1$	$0$	$0$	$1$	$\;$	$\; \mathrm{A}君$	$\;$	$0$	$0$	$1$	$0$	$0$	$1$
$\; \mathrm{B}君$	$\;$	$\;$	$\;$	$\;$	$\;$	$\;$	$\;$	$\Rightarrow$	$\; \mathrm{B}君$	$\;$	$0$	$0$	$0$	$1$	$1$	$1$
$\; 審判$	$\;$	$\;$	$\;$	$\;$	$\;$	$\;$	$0$	$\;$	$\; 審判$	$0$	$0$	$1$	$1$	$1$	$1$	$0$
$スコア$	$\;$	$0$	$1$	$0$	$0$	$0$	$0$	$\;$	$スコア$	$\;$	$0$	$1$	$0$	$0$	$0$	$0$