数学(理系)の第2問（2022京都大学入試）

問題

　　　　　　　　　　第　 $2$ 　問

　箱の中に $\; 1 \;$ から $\; n \;$ までの番号がついた $\; n \;$ 枚の札がある。ただし、 $\; n \geqq 5 \;$ とし、同じ番号の札はないとする。この箱から $\; 3 \;$ 枚の札を同時に取り出し、札の番号を小さい順に $\; X,\; Y,\; Z \;$ とする。このとき、 $\; Y-X \geqq 2 \;$ かつ $\; Z-Y \geqq 2 \;$ となる確率を求めよ。

解答

$\; Y-X \geqq 2 \;$ かつ $\; Z-Y \geqq 2 \;$ の条件を満たすのは、 $\; X,\; Y \;$ と $\; Y,\; Z \;$ が連続する整数でなければよい。つまり、 $\; n \;$ 枚の札を小さい順に一列に並べるとき、取らない札の間か両端から $\; 3 \;$ つ取ればよい。取らない札を $\; ○ \;$ 、取る札を $\; ｜ \;$ で表すと、たとえば

$\; |○|○○|○・・・○○ \;$ や $\; ○|○|○○・・・○|○ \;$

は、 $\; (X,\; Y,\; Z)=(1,\; 3,\; 6) \;$ や $\; (2,\; 4,\; n-1) \;$ を表している。 $\; ○ \;$ と $\; ｜ \;$ は合わせて $\; n \;$ 個あり、 $\; ｜ \;$ が $\; 3 \;$ つで、 $\; ○ \;$ の間と両端を合わせて $\; n-2 \;$ 箇所ある。よって、求める場合の数は $\; {}_{n-2} C _3 \;$ 通りである。