高校数学の解き方

高校数学の教科書や大学入試の問題を解いています。簡潔で分かりやすい解答、模範解答を目指します。

数学(理系)の第3問（2022京都大学入試）

京都大学入試

問題

　　　　　　　　　　第　 $3$ 　問

　 $\; n \;$ を自然数とする。 $\; 3 \;$ つの整数 $\; n^2+2,\; n^4+2,\; n^6+2 \;$ の最大公約数 $\; A_n \;$ を求めよ。

　

解答

　 $\; n^4+2 \;$ を $\; n^2+2 \;$ で割った商が $\; n^2-2 \;$ 、余り $\; 6 \;$ だから

　　　　　 $\; n^4+2=(n^2+2)(n^2-2)+6 \;$

　よって、 $\; n^4+2 \;$ と $\; n^2+2 \;$ の最大公約数は、 $\; n^2+2 \;$ と $\; 6 \;$ の最大公約数に等しく、それは $\; 6 \;$ の約数である。

同様に、 $\; n^6+2 \;$ を $\; n^2+2 \;$ で割った商が $\; n^4-2n^2+4 \;$ 、余り $\; -6 \;$ だから

　　　　　 $\; n^6+2=(n^2+2)(n^4-2n^2+4)-6 \;$

　よって、 $\; n^6+2 \;$ と $\; n^2+2 \;$ の最大公約数は、 $\; n^2+2 \;$ と $\; 6 \;$ の最大公約数に等しく、それは $\; 6 \;$ の約数である。

　以上より、 $\; n^2+2,\; n^4+2,\; n^6+2 \;$ の最大公約数 $\; A_n \;$ は $\; 6 \;$ の約数であるから、 $\; 1,\; 2,\; 3,\; 6 \;$ のいずれかである。

　したがって、 $\; n=6k \;$ ( $\; k \;$ は自然数）とすると、

　　　　　 $\; n^2+2=(6k)^2+2=2(18k^2+1)=3\times12k^2+2 \;$

これは $\; 2 \;$ の倍数で $\; 3 \;$ の倍数ではないから、 $\; A_{6k}=2 \;$

次に、 $\; n=6k+1 \;$ ( $\; k \;$ は $\; 0 \;$ 以上の整数）とすると、

　　　　　 $\; n^2+2=(6k+1)^2+2=3(12k^2+4k+1)=2(18k^2+6k+1)+1 \;$

これは $\; 3 \;$ の倍数で $\; 2 \;$ の倍数ではないから、 $\; A_{6k+1}=3 \;$

次に、 $\; n=6k+2 \;$ ( $\; k \;$ は $\; 0 \;$ 以上の整数）とすると、

　　　　　 $\; n^2+2=(6k+2)^2+2=6(6k^2+4k+1) \;$

これは $\; 6 \;$ の倍数だから、 $\; A_{6k+2}=6 \;$

次に、 $\; n=6k+3 \;$ ( $\; k \;$ は $\; 0 \;$ 以上の整数）とすると、

　　　　　 $\; n^2+2=(6k+3)^2+2=2(18k^2+18k+5)+1=3(12k^2+12k+3)+2 \;$

これは $\; 3 \;$ の倍数でも $\; 2 \;$ の倍数でもないから、 $\; A_{6k+3}=1 \;$

次に、 $\; n=6k+4 \;$ ( $\; k \;$ は $\; 0 \;$ 以上の整数）とすると、

　　　　　 $\; n^2+2=(6k+4)^2+2=6(6k^2+8k+3) \;$

これは $\; 6 \;$ の倍数だから、 $\; A_{6k+4}=6 \;$

次に、 $\; n=6k+5 \;$ ( $\; k \;$ は $\; 0 \;$ 以上の整数）とすると、

　　　　　 $\; n^2+2=(6k+5)^2+2=3(12k^2+20k+9)=2(18k^2+30k+13)+1 \;$

これは $\; 3 \;$ の倍数で $\; 2 \;$ の倍数ではないから、 $\; A_{6k+5}=3 \;$

　　　(答) $\; A_{6k}=2, \; A_{6k+1}=3, \; A_{6k+2}=6, \; A_{6k+3}=1, \; A_{6k+4}=6, \; A_{6k+5}=3 \;$

　

　

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