数学(理系)の第4問（2022京都大学入試）

問題

　　　　　　　　　　第　 $4$ 　問

　四面体 $\; \mathrm{OABC} \;$ が

　　　　 $\; \mathrm{OA}=4,\; \mathrm{OB}=\mathrm{AB}=\mathrm{BC}=3,\; \mathrm{OC}=\mathrm{AC}=2 \sqrt{3} \;$

を満たしているとする。 $\; \mathrm{P} \;$ を辺 $\; \mathrm{BC} \;$ 上の点とし、 $\; \bigtriangleup \mathrm{OAP} \;$ の重心を $\; \mathrm{G} \;$ とする。このとき、次の各問に答えよ。

$\; (1) \; \; \; \overrightarrow{\mathrm{PG}} \perp \overrightarrow{\mathrm{OA}} \;$ を示せ。

$\; (2) \; \; \; \mathrm{P} \;$ が辺 $\; \mathrm{BC} \;$ 上を動くとき、 $\; \mathrm{PG} \;$ の最小値を求めよ。

解答

$\; (1) \; \; \; \overrightarrow{\mathrm{OA}} = \overrightarrow{a},\; \overrightarrow{\mathrm{OB}} = \overrightarrow{b},\; \overrightarrow{\mathrm{OC}} = \overrightarrow{c} \;$ とすると、 $\; | \overrightarrow{a} |=4,\; \; \; | \overrightarrow{b} |=3,\; \; \; | \overrightarrow{c} |=2 \sqrt{3},\; \; \; | \overrightarrow{b} - \overrightarrow{a} |=3 \;$ だから

$\; | \overrightarrow{b} - \overrightarrow{a} |^2=3^2 \;$ から $\; | \overrightarrow{b} |^2 -2 \overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} +| \overrightarrow{a}|^2=9 \;$

よって、 $\; 3^2 -2 \overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} +4^2=9 \;$ より、 $\; \overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} =8 \;$

同様にして、 $\; \overrightarrow{b} \cdot \overrightarrow{c} =6,\; \; \; \overrightarrow{c} \cdot \overrightarrow{a} =8 \;$

ここで、 $\; \mathrm{BP} : \mathrm{PC} =t:(1-t) \; \; \; (0 \leqq t \leqq 1) \;$ とすると、

$\; \overrightarrow{\mathrm{OP}} =(1-t) \overrightarrow{\mathrm{OB}} +t \overrightarrow{\mathrm{OC}} =(1-t) \overrightarrow{b} +t \overrightarrow{c} \;$

$\displaystyle \; \overrightarrow{\mathrm{OG}} = \frac{1}{3} \left( \overrightarrow{\mathrm{OA}} + \overrightarrow{\mathrm{OP}} \right) = \frac{1}{3} \overrightarrow{a} +\frac{1}{3} (1-t) \overrightarrow{b} +\frac{1}{3} t \overrightarrow{c} \;$

よって、 $\displaystyle \; \overrightarrow{\mathrm{PG}} = \overrightarrow{\mathrm{OG}} - \overrightarrow{\mathrm{OP}} =\frac{1}{3} \overrightarrow{a} -\frac{2}{3} (1-t) \overrightarrow{b} -\frac{2}{3} t \overrightarrow{c} \;$

したがって、

$\displaystyle \; \overrightarrow{\mathrm{PG}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OA}} = \left\{ \frac{1}{3} \overrightarrow{a} -\frac{2}{3} (1-t) \overrightarrow{b} -\frac{2}{3} t \overrightarrow{c} \right\} \cdot \overrightarrow{a} \;$

　　　　　 $\displaystyle \; = \frac{1}{3} | \overrightarrow{a} |^2 -\frac{2}{3} (1-t) \overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} -\frac{2}{3} t \overrightarrow{c} \cdot \overrightarrow{a} \;$

　　　　　 $\displaystyle \; = \frac{1}{3} \times 4^2 -\frac{2}{3} (1-t) \times 8-\frac{2}{3} t \times 8 =0 \;$

ゆえに、 $\; \overrightarrow{\mathrm{PG}} \perp \overrightarrow{\mathrm{OA}} \;$

$\displaystyle \; (2) \; \; \; \big| \overrightarrow{\mathrm{PG}} \big|^2 = \Big| \frac{1}{3} \overrightarrow{a} -\frac{2}{3} (1-t) \overrightarrow{b} -\frac{2}{3} t \overrightarrow{c} \Big|^2 \;$

$\displaystyle \; = \frac{1}{9} | \overrightarrow{a} |^2 + \frac{4}{9} (1-t)^2 | \overrightarrow{b} |^2 + \frac{4}{9} t^2 | \overrightarrow{c} |^2-\frac{4}{9} (1-t) \overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} + \frac{8}{9} t(1-t) \overrightarrow{b} \cdot \overrightarrow{c}- \frac{4}{9} t \overrightarrow{c} \cdot \overrightarrow{a} \;$

$\displaystyle \; = \frac{1}{9} \times 4^2+ \frac{4}{9} (1-t)^2 \times 3^2 + \frac{4}{9} t^2 \times (2 \sqrt{3})^2 -\frac{4}{9} (1-t) \times 8+ \frac{8}{9} t(1-t) \times 6- \frac{4}{9} t \times 8 \;$

$\displaystyle \; =4t^2- \frac{8}{3} t+ \frac{20}{9} \;$

$\displaystyle \; =4 \left( t- \frac{1}{3} \right)^2 + \frac{16}{9} \;$

$\; 0 \leqq t \leqq 1 \;$ だから、 $\displaystyle \; t= \frac{1}{3} \;$ のとき、最小値 $\displaystyle \; \sqrt{ \frac{16}{9} } = \frac{4}{3} \;$

(答) $\; \mathrm{P} \;$ が $\; \mathrm{B} \;$ から $\; \mathrm{BC} \;$ の $\displaystyle \; \frac{1}{3} \;$ にあるとき、 $\; \mathrm{PG} \;$ の最小値は $\displaystyle \; \frac{4}{3} \;$