高校数学の解き方

高校数学の教科書や大学入試の問題を解いています。簡潔で分かりやすい解答、模範解答を目指します。

数学(理系)の第6問(2022京都大学入試)

問題

          第 6 問

 数列\; \{ x_n \}, \; \{ y_n \} \; を次の式

 \displaystyle \; x_1=0, \; \; \; x_{n+1}=x_n+n+2 \cos \left( \frac{2 \pi x_n}{3} \right) \; \; \; \; \; (n=1,\; 2,\; 3,\; \cdots ), \;

 \; y_{3m+1} =3m,\; \; \; y_{3m+2} =3m+2,\; \; \; y_{3m+3} =3m+4 \; \; \; \; \; (m=0,\; 1,\; 2,\; \cdots ) \;

により定める。このとき、数列\; \{ x_n - y_n \} \; の一般項を求めよ。

 

解答

\; \; \; \; \; n 1 2 3 4 \; 5 \; 6 \; 7 \cdots
\; \; \; \; \; x_n 0 3 7 9 15 22 27 \cdots
\; \; \; \; \; y_n 0 2 4 3 \; 5 \; 7 \; 6 \cdots
x_n-y_n 0 1 3 6 10 15 21 \cdots

 表より、数列\; \{ x_n - y_n \} \; の階差数列が\; 1,\; 2,\; 3,\; 4,\; 5,\; 6,\; \cdots \; だから、この数列の一般項は次のように推測される。

     \displaystyle \; x_n - y_n = \frac{1}{2} n(n-1) \; \; \; \cdots \; (※)

 この推測が正しいことを、数学的帰納法によって証明する。

\; [ 1 ] \; \; \; n=1 \; のとき、(※)の右辺は \displaystyle \; \frac{1}{2} \cdot 1 \cdot (1-1)=0 \;

   上の表より、\; x_1 - y_1 =0 \; なので、\; n=1 \; のとき(※)は成り立つ。

 

\; [ 2 ] \; \; \; n=3m+1 \; \; \; (m=0,\; 1,\; 2,\; \cdots ) \; のとき、(※)が成り立つ、すなわち

     \displaystyle \; x_{3m+1} - y_{3m+1} = \frac{1}{2} (3m+1)\{(3m+1)-1\} \;

と仮定する。

このとき、\displaystyle \; x_{3m+1} = y_{3m+1} + \frac{1}{2} (3m+1)\{(3m+1)-1\} \;

       \displaystyle \; = 3m + \frac{1}{2} \cdot 3m(3m+1)= \frac{1}{2} \cdot 9m(m+1) \;

\; m,\; m+1 \; は連続する整数だから、いずれか一方が偶数なので、\; x_{3m+1} \; \; 3 \; の倍数である。よって、\displaystyle \; \cos \left( \frac{2 \pi x_{3m+1}}{3} \right) =1 \;

 

\; (\mathrm{i}) \; \; \; n=3m+2 \; のときを考えると、

     \displaystyle \; x_{3m+2} - y_{3m+2} = x_{3m+1}+(3m+1) + 2 \cos \left( \frac{2 \pi x_{3m+1}}{3} \right) - y_{3m+2} \;

          \displaystyle \; = \frac{1}{2} \cdot 9m(m+1)+(3m+1)+2- (3m+2) \;

          \displaystyle \; = \frac{1}{2} (3m+2)\{(3m+2)-1\} \;

よって、\; n=3m+2 \; のときも(※)を満たす。

このとき、\displaystyle \; x_{3m+2} = y_{3m+2} + \frac{1}{2} (3m+2)\{(3m+2)-1\} \;

       \displaystyle \; = (3m+2) + \frac{1}{2} (3m+2)(3m+1)= \frac{1}{2} (3m+2)(3m+3) \;

\; 3m+2,\; 3m+3 \; は連続する整数だからいずれか一方が偶数で、\; 3m+3 \; \; 3 \; の倍数なので、\; x_{3m+2} \; \; 3 \; の倍数である。よって、\displaystyle \; \cos \left( \frac{2 \pi x_{3m+2}}{3} \right) =1 \;

 

\; (\mathrm{ii}) \; \; \; n=3m+3 \; のときを考えると、

     \displaystyle \; x_{3m+3} - y_{3m+3} = x_{3m+2}+(3m+2) + 2 \cos \left( \frac{2 \pi x_{3m+2}}{3} \right) - y_{3m+3} \;

          \displaystyle \; = \frac{1}{2} (3m+2)(3m+3)+(3m+2)+2- (3m+4) \;

          \displaystyle \; = \frac{1}{2} (3m+3)\{(3m+3)-1\} \;

よって、\; n=3m+3 \; のときも(※)を満たす。

このとき、\displaystyle \; x_{3m+3} = y_{3m+3} + \frac{1}{2} (3m+3)\{(3m+3)-1\} \;

       \displaystyle \; = (3m+4) + \frac{1}{2} (3m+3)(3m+2)= \frac{1}{2} (3m+3)(3m+4)+1 \;

\; 3m+3,\; 3m+4 \; は連続する整数だからいずれか一方が偶数で、\; 3m+3 \; \; 3 \; の倍数なので、\; x_{3m+3} \; \; 3 \; で割ると\; 1 \; 余る数である。よって、\displaystyle \; \cos \left( \frac{2 \pi x_{3m+3}}{3} \right) =-\frac{1}{2} \;

 

\; (\mathrm{iii}) \; \; \; n=3m+4 \; のときを考えると、

     \displaystyle \; x_{3m+4} - y_{3m+4} = x_{3m+3}+(3m+3) + 2 \cos \left( \frac{2 \pi x_{3m+3}}{3} \right) - y_{3(m+1)+1} \;

          \displaystyle \; = \frac{1}{2} (3m+3)(3m+4)+1+(3m+3)-1- 3(m+1) \;

          \displaystyle \; = \frac{1}{2} (3m+4)\{(3m+4)-1\} \;

よって、\; n=3m+4=3(m+1)+1 \; のときも(※)を満たす。

 

\; [ 1 ],\; [ 2 ]  \; から、すべての自然数\; n \; について(※)は成り立つ。

     (答)\displaystyle \; x_n - y_n = \frac{1}{2} n(n-1) \;

 

 

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