高校数学の解き方

問題

　　　　　　　　　　第　 $6$ 　問

　数列 $\; \{ x_n \}, \; \{ y_n \} \;$ を次の式

　 $\displaystyle \; x_1=0, \; \; \; x_{n+1}=x_n+n+2 \cos \left( \frac{2 \pi x_n}{3} \right) \; \; \; \; \; (n=1,\; 2,\; 3,\; \cdots ), \;$

　 $\; y_{3m+1} =3m,\; \; \; y_{3m+2} =3m+2,\; \; \; y_{3m+3} =3m+4 \; \; \; \; \; (m=0,\; 1,\; 2,\; \cdots ) \;$

により定める。このとき、数列 $\; \{ x_n - y_n \} \;$ の一般項を求めよ。

解答

$\; \; \; \; \; n$	$1$	$2$	$3$	$4$	$\; 5$	$\; 6$	$\; 7$	$\cdots$
$\; \; \; \; \; x_n$	$0$	$3$	$7$	$9$	$15$	$22$	$27$	$\cdots$
$\; \; \; \; \; y_n$	$0$	$2$	$4$	$3$	$\; 5$	$\; 7$	$\; 6$	$\cdots$
$x_n-y_n$	$0$	$1$	$3$	$6$	$10$	$15$	$21$	$\cdots$

　表より、数列 $\; \{ x_n - y_n \} \;$ の階差数列が $\; 1,\; 2,\; 3,\; 4,\; 5,\; 6,\; \cdots \;$ だから、この数列の一般項は次のように推測される。

　　　　　 $\displaystyle \; x_n - y_n = \frac{1}{2} n(n-1) \; \; \; \cdots \;$ （※）

　この推測が正しいことを、数学的帰納法によって証明する。

$\; [ 1 ] \; \; \; n=1 \;$ のとき、（※）の右辺は　 $\displaystyle \; \frac{1}{2} \cdot 1 \cdot (1-1)=0 \;$

　　　上の表より、 $\; x_1 - y_1 =0 \;$ なので、 $\; n=1 \;$ のとき（※）は成り立つ。

$\; [ 2 ] \; \; \; n=3m+1 \; \; \; (m=0,\; 1,\; 2,\; \cdots ) \;$ のとき、（※）が成り立つ、すなわち

　　　　　 $\displaystyle \; x_{3m+1} - y_{3m+1} = \frac{1}{2} (3m+1)\{(3m+1)-1\} \;$

と仮定する。

このとき、 $\displaystyle \; x_{3m+1} = y_{3m+1} + \frac{1}{2} (3m+1)\{(3m+1)-1\} \;$

　　　　　　　 $\displaystyle \; = 3m + \frac{1}{2} \cdot 3m(3m+1)= \frac{1}{2} \cdot 9m(m+1) \;$

$\; m,\; m+1 \;$ は連続する整数だから、いずれか一方が偶数なので、 $\; x_{3m+1} \;$ は $\; 3 \;$ の倍数である。よって、 $\displaystyle \; \cos \left( \frac{2 \pi x_{3m+1}}{3} \right) =1 \;$

$\; (\mathrm{i}) \; \; \; n=3m+2 \;$ のときを考えると、

　　　　　 $\displaystyle \; x_{3m+2} - y_{3m+2} = x_{3m+1}+(3m+1) + 2 \cos \left( \frac{2 \pi x_{3m+1}}{3} \right) - y_{3m+2} \;$

　　　　　　　　　　 $\displaystyle \; = \frac{1}{2} \cdot 9m(m+1)+(3m+1)+2- (3m+2) \;$

　　　　　　　　　　 $\displaystyle \; = \frac{1}{2} (3m+2)\{(3m+2)-1\} \;$

よって、 $\; n=3m+2 \;$ のときも（※）を満たす。

このとき、 $\displaystyle \; x_{3m+2} = y_{3m+2} + \frac{1}{2} (3m+2)\{(3m+2)-1\} \;$

　　　　　　　 $\displaystyle \; = (3m+2) + \frac{1}{2} (3m+2)(3m+1)= \frac{1}{2} (3m+2)(3m+3) \;$

$\; 3m+2,\; 3m+3 \;$ は連続する整数だからいずれか一方が偶数で、 $\; 3m+3 \;$ が $\; 3 \;$ の倍数なので、 $\; x_{3m+2} \;$ は $\; 3 \;$ の倍数である。よって、 $\displaystyle \; \cos \left( \frac{2 \pi x_{3m+2}}{3} \right) =1 \;$

$\; (\mathrm{ii}) \; \; \; n=3m+3 \;$ のときを考えると、

　　　　　 $\displaystyle \; x_{3m+3} - y_{3m+3} = x_{3m+2}+(3m+2) + 2 \cos \left( \frac{2 \pi x_{3m+2}}{3} \right) - y_{3m+3} \;$

　　　　　　　　　　 $\displaystyle \; = \frac{1}{2} (3m+2)(3m+3)+(3m+2)+2- (3m+4) \;$

　　　　　　　　　　 $\displaystyle \; = \frac{1}{2} (3m+3)\{(3m+3)-1\} \;$

よって、 $\; n=3m+3 \;$ のときも（※）を満たす。

このとき、 $\displaystyle \; x_{3m+3} = y_{3m+3} + \frac{1}{2} (3m+3)\{(3m+3)-1\} \;$

　　　　　　　 $\displaystyle \; = (3m+4) + \frac{1}{2} (3m+3)(3m+2)= \frac{1}{2} (3m+3)(3m+4)+1 \;$

$\; 3m+3,\; 3m+4 \;$ は連続する整数だからいずれか一方が偶数で、 $\; 3m+3 \;$ が $\; 3 \;$ の倍数なので、 $\; x_{3m+3} \;$ は $\; 3 \;$ で割ると $\; 1 \;$ 余る数である。よって、 $\displaystyle \; \cos \left( \frac{2 \pi x_{3m+3}}{3} \right) =-\frac{1}{2} \;$