問題 第 問 数列を次の式 により定める。このとき、数列の一般項を求めよ。 解答 表より、数列の階差数列がだから、この数列の一般項は次のように推測される。 （※） この推測が正しいことを、数学的帰納法によって証明する。 のとき、（※）の右辺は 上の表…

問題 第 問 曲線軸および軸で囲まれる図形の面積をとする。とし、上の点と原点、およびを頂点にもつ長方形の面積をとする。このとき、次の各問に答えよ。 を求めよ。 は最大値をただつのでとることを示せ。そのときのをとすると、であることを示せ。 を示せ…

問題 第 問 四面体が を満たしているとする。を辺上の点とし、の重心をとする。このとき、次の各問に答えよ。 を示せ。 が辺上を動くとき、の最小値を求めよ。 解答 とすると、だから から よって、より、 同様にして、 ここで、とすると、 よって、 したが…

問題 第 問 を自然数とする。つの整数の最大公約数を求めよ。 解答 をで割った商が、余りだから よって、との最大公約数は、との最大公約数に等しく、それはの約数である。 同様に、をで割った商が、余りだから よって、との最大公約数は、との最大公約数に…

問題 第 問 箱の中にからまでの番号がついた枚の札がある。ただし、とし、同じ番号の札はないとする。この箱から枚の札を同時に取り出し、札の番号を小さい順にとする。このとき、かつとなる確率を求めよ。 解答 かつの条件を満たすのは、とが連続する整数で…

問題 第 問 であることを示せ。ただし、であることは用いてよい。 解答 だから、証明すべき不等式の各辺にをかけた式 の各辺からをひいた式 ・・・（※） を証明してもよい。以下、これを証明するとだから よって、（※）が証明されたから は示された。 ブログ…