問題 第 問 以下の問いに答えよ。 を実数とする。の方程式 を考える。のとき、この方程式はの範囲に少なくとも個の解を持つことを示せ。 座標平面上の楕円 を考える。また、を満たす実数に対して、不等式 が表す領域をとする。内のすべての点が以下の条件を…

問題 第 問 座標空間において、平面上の原点を中心とする半径の円を考える。この円を底面とし、点を頂点とする円錐（内部を含む）をとする。また、点を考える。 点がの底面を動くとき、線分が通過する部分をとする。平面によるの切り口および、平面によるの…

問題 第 問 をを満たす整数とする。個の整数 から異なる個を選んでそれらの積をとる。個の整数の選び方すべてに対しこのように積をとることにより得られる個の整数の和をとおく。例えば、 である。 以上の整数に対し、を求めよ。 以上の整数に対し、について…

問題 第 問 を満たす実数に対して、 とする。座標平面上の点を考える。 におけるの関数は単調に減少することを示せ。 原点との距離をとする。におけるの関数の増減を調べ、最大値を求めよ。 がを動くときのの軌跡をとし、と軸で囲まれた領域をとする。原点を…

問題 第 問 平面上の点が同一直線上にないとき、それらを頂点とする三角形の面積をで表す。また、が同一直線上にあるときは、とする。 を平面上の点とし、とする。この平面上の点が を満たしながら動くとき、点の動きうる範囲の面積を求めよ。 解答 とすると…

問題 第 問 を実数とする。不等式 をすべて満たす実数の集合と、を満たす実数の集合が一致しているとする。 はすべて以上であることを示せ。 のうち少なくとも個はであることを示せ。 であることを示せ。 解答 とすると、題意より、 「はすべて以上である。…

問題 第 問 複素数および実数が、次の条件をみたしながら動く。 条件は相異なる。 条件は次方程式の解である。 条件複素数の実部はであり、虚部はではない。 のうち、ちょうどつが実数であり、残りのつは互いに共役な複素数であることを示せ。 をで表せ。 複…

問題 第 問 以下の問いに答えよ。 を以上の整数とする。についての方程式 は、ただ一つの実数解をもつことを示せ。 で定まるに対し、を示せ。 で定まる数列に対し、 を求めよ。 解答 である。また、が以上の整数だから、は奇数である。 のとき、だから、解は…

問題 第 問 を以上の整数とする。 との最大公約数を求めよ。 は整数の乗にならないことを示せ。 解答 をで割ると、商がで余りがだから よって、との最大公約数は、との最大公約数に等しい。 を以上の整数とする。 （偶数）のとき、 これはで割ると余る数だか…

問題 第 問 座標空間内に点を考える。線分の中点と線分の中点を通り、直線に平行な平面をとする。さらに、はをみたす実数とし、点を考える。 八面体の平面による切り口および、平面の平面による切り口を同一平面上に図示せよ。 八面体の平面による切り口が八…

第 問 一辺の長さがの正方形を考える。点はそれぞれ辺上にあり、点および点はどちらも面積がの三角形の頂点であるとする。 の最大値、最小値を求めよ。 解答 とおくと、となる。 だから、より、 これらから、となる。 だから 台形 よって、 だから となるの…

第 問 次の定積分を求めよ。 解答 この定積分をとする。 初めの項は、 次の項は、とおくと、より がのときはだから 最後の項は、とおくと、がのときはだから よって、 ブログ全体の目次（過去の記事の一覧）

第 問 座標空間内の点を考える。 とする。点が線分上を動くときに、点を中心とする半径の球（内部を含む）が通過する部分を、それぞれとする。 平面が双方と共有点をもつようなの範囲を与えよ。さらに、この範囲のに対し、平面との共通部分および、平面との…

第 問 複素数平面上の原点を中心とする半径の円をとする。点は上にあり、点とは異なるとする。点における円の接線に関して、点と対称な点をとする。とおき、と共役な複素数をで表す。 とをについての整式として表し、絶対値の商を求めよ。 のうち実部が以下…

第 問 とし、 とおく。次の条件をみたす点の動きうる範囲を求め、座標平面上に図示せよ。 条件方程式は相異なる実数解をもつ。 条件さらに、方程式の解をとするとである。 解答 （図は省略） 条件より また、条件より で、だから さらに、だから、より した…

第 問 放物線のうちをみたす部分をとする。座標平面上の原点と点を考える。を実数とする。点が上を動き、点が線分上を動くとき、 をみたす点が動く領域の面積をとする。 およびを求めよ。 解答 点の座標を（定数）とすると、点が上を動くから とすると、点の…

第 問 数列を で定める。 とする。を既約分数として表したときの分母と分子を求めよ。 が整数となるをすべて求めよ。 解答 のとき、 ここで、とする。 でのいずれか一方は正の偶数だから、は正の整数でである。 また、をで割ると、商がで余りがだから、との…

第 問 関数 の増減表をつくり、のときの極限を調べよ。 解答 ここで、のとき、だから となるのは、より とおくと、のとき だから ブログ全体の目次（過去の記事の一覧）

問題 第 問 点を原点とする座標空間内で，一辺の長さがの正三角形を動かす。また，点に対して，をとおく。ただしとする。 点がにあるとき，点の座標がとりうる値の範囲と，がとりうる値の範囲を求めよ。 点が平面上を動くとき，辺が通過しうる範囲をとする。…

問題 第 問 を実数とし，座標平面上で次のつの放物線の共通接線について考える。 直線が共通接線であるとき，を用いてとを表せ。ただしとする。 傾きがの共通接線が存在するようにの値を定める。このとき，共通接線が本存在することを示し，それらの傾きと切…

問題 第 問 とおき，自然数に対して と定める。以下の問いに答えよ。ただし設問は結論のみを書けばよい。 の値を求めよ。 とする。積を，とを用いて表せ。 は自然数であることを示せ。 との最大公約数を求めよ。 解答 数学的帰納法を用いて証明する。 のとき…

問題 第 問 複素数平面上の原点以外の点に対して，とする。 をでない複素数とし，点と原点を結ぶ線分の垂直二等分線をとする。点が直線上を動くとき，点の軌跡は円から点を除いたものになる。この円の中心と半径を求めよ。 の乗根のうち，虚部が正であるもの…

問題 第 問 座標平面上で座標と座標がいずれも整数である点を格子点という。格子点上を次の規則に従って動く点を考える。 最初に，点は原点にある。 ある時刻で点が格子点にあるとき，その秒後の点の位置は，隣接する格子点のいずれかであり，また，これらの…

問題 第 問 実数に対して とし，で定義された関数 を考える。 とをの整式で表せ。 がの範囲で最小値をとるためのについての条件を求めよ。また，条件をみたす点が描く図形を座標平面上に図示せよ。 解答 のとき だから のとき，すなわちのとき 開区間で，単…