問題 は定数で，とする。つの関数について，合成関数とが一致するとき，の満たすべき条件を求めよ。 解答 のとき よって ゆえに これがについての恒等式であるから より だから より だから より のとき は任意の実数で成り立つ。 したがって，求める条件は …

問題 のとき，関数の逆関数は，に等しいことを証明せよ。 解答 とする。 ここで，だから より を変形すると，より より，だから よって，逆関数は，とを入れ替えて ゆえに，関数の逆関数は，に等しい。 （終） ブログ全体の目次（過去の記事の一覧）

問題 のグラフとのグラフがつの共有点をもつような定数の値の範囲を求めよ。 解答 の定義域は ，値域は である。 グラフは，のグラフを軸方向にだけ平行移動したものである。 これをと連立して解くと 両辺を乗して整理すると この次方程式の判別式をとすると…

問題 とする。定点からの距離の積がに等しい点の軌跡をレムニスケートという。 レムニスケートの方程式は，次の式で与えられることを示せ。 レムニスケートの極方程式を求め，のときの概形をコンピュータで描け。 解答 点の座標をとする。 の満たす条件は す…

問題 放物線について，次の問いに答えよ。 傾きがである接線の方程式を求めよ。ただし，とする。 直交するつの接線の交点の軌跡を求めよ。 解答 傾きがである直線の方程式を とする。これをに代入すると 整理すると だから，この次方程式の判別式をとすると …

問題 ある工場では製品を製造している。それらを製造するには原料が必要で，を製造するために必要な原料の量と，原料の在庫量は次の表の通りである。また，あたりの利益は，それぞれ万円，万円である。原料の在庫量の範囲で，最大の利益を得るには，をそれぞ…

問題 次の問いに答えよ。 直線に関して，点と対称な点の座標を求めよ。 において，点が直線上を動くとき，点の軌跡を求めよ。 解答 直線をとし，点の座標をとする。 直線はに垂直であるから ゆえに また，線分の中点は上にあるから ゆえに を連立してについ…

問題 円上の点におけるこの円の接線の方程式を求めよ。 解答 円の中心と接点を結ぶ直線の傾きは よって，求める接線の方程式は，この直線に垂直で，点を通るから ゆえに ブログ全体の目次（過去の記事の一覧）

問題 中心が第象限にあって，軸，軸および直線に接する円の方程式を求めよ。 解答 中心が第象限にあって，軸，軸に接することから，求める円の半径をとすると、円の方程式は と表される。 とすると，直線が円に接するための条件は，円の中心と直線の距離が円…

問題 原点をつの頂点とする平行四辺形があり，直線は，直線はで表されている。このとき，平行四辺形の面積を求めよ。 解答 とする。はの交点で，これらを連立して解くと，その座標は また，を通り，に平行な直線の方程式は となる。はの交点で，これらを連立…

問題 直線が点で交わるならば，点は，一直線上にあることを証明せよ。 解答 とする。を連立して解くと，直線の交点は この交点は直線上にあるから より また，点を通る直線の方程式は すなわち より，点は直線上にある。 よって，点は，一直線上にある。 （…

問題 点の定める平面をとし，原点から平面に垂線を下ろす。 と表すとき，からであることを導け。 点の座標を求めよ。 垂線の長さを求めよ。 解答 ここで より よって より また より よって より 点は平面の上にあるから となる実数がある。よって ゆえに こ…

問題 四面体において，辺をに内分する点を，線分をに内分する点を，線分をに内分する点をとし，直線と平面の交点をとする。このとき，を求めよ。 解答 とすると， ， ここで，は直線上にあるから， となる実数がある。よって， また，は平面上にあるから， …

問題 点と平面上の点が一直線上にあるとき，点の座標を求めよ。 解答 平面上の点をとする。 で，点が一直線上にあるから，となる実数がある。 よって だから ゆえに これを解いて したがって，点の座標は ブログ全体の目次（過去の記事の一覧）

問題 点を頂点とする四面体がある。 辺の中点をとするとき，であることを示せ。 の面積を求めよ。 であることを示せ。 四面体の体積を求めよ。 解答 辺の中点の座標は より よって ゆえに よって，求める面積は よって ゆえに また よって ゆえに より，四面…