第 問 座標空間内の点を考える。 とする。点が線分上を動くときに、点を中心とする半径の球（内部を含む）が通過する部分を、それぞれとする。 平面が双方と共有点をもつようなの範囲を与えよ。さらに、この範囲のに対し、平面との共通部分および、平面との…

第 問 複素数平面上の原点を中心とする半径の円をとする。点は上にあり、点とは異なるとする。点における円の接線に関して、点と対称な点をとする。とおき、と共役な複素数をで表す。 とをについての整式として表し、絶対値の商を求めよ。 のうち実部が以下…

第 問 とし、 とおく。次の条件をみたす点の動きうる範囲を求め、座標平面上に図示せよ。 条件方程式は相異なる実数解をもつ。 条件さらに、方程式の解をとするとである。 解答 （図は省略） 条件より また、条件より で、だから さらに、だから、より した…

第 問 放物線のうちをみたす部分をとする。座標平面上の原点と点を考える。を実数とする。点が上を動き、点が線分上を動くとき、 をみたす点が動く領域の面積をとする。 およびを求めよ。 解答 点の座標を（定数）とすると、点が上を動くから とすると、点の…

第 問 数列を で定める。 とする。を既約分数として表したときの分母と分子を求めよ。 が整数となるをすべて求めよ。 解答 のとき、 ここで、とする。 でのいずれか一方は正の偶数だから、は正の整数でである。 また、をで割ると、商がで余りがだから、との…

第 問 関数 の増減表をつくり、のときの極限を調べよ。 解答 ここで、のとき、だから となるのは、より とおくと、のとき だから ブログ全体の目次（過去の記事の一覧）

問題 第 問 四面体はを満たすとし、辺の中点を辺の中点をとする。 辺と線分は垂直であることを示せ。 線分を含む平面で四面体を切ってつの部分に分ける。このとき、つの部分の体積は等しいことを示せ。 解答 だから で より (ア) だから で より (イ) (ア)(…

問題 第 問 曲線上の点における法線上に、点をとなるようにとる。ただし、の座標はより大きいとする。 点の座標を求めよ。また、を求めよ。 実数はを満たすとし、がからまで動くときに点と点が描く曲線の長さをそれぞれとする。このとき、極限を求めよ。 解…

問題 第 問 コインを回投げて複素数を次のように定める。 回目に表が出ればとし、裏が出ればとする。 のとき、回目に表が出ればとし、裏が出ればとする。ただし、はの共役複素数である。 このとき、となる確率を求めよ。 解答 とおくと だから は のいずれか…

問題 第 問 はを満たす定数とし、四角形に関する次のつの条件を考える。 四角形は半径の円に内接する。 条件とを満たす四角形のなかで、辺の長さの積 が最大となるものについて、の値を求めよ。 解答 とすると、で で正弦定理より よって また、で で正弦定…

問題 第 問 が素数となるような整数をすべて求めよ。 解答 の連続するつの整数のうちつはの倍数である。また、がの倍数なら、もの倍数である。 よって、与式はの倍数だから、それが素数となるのはのときだけである。 ブログ全体の目次（過去の記事の一覧）

問題 第 問 でない実数は次の条件とを満たしながら動くものとする。 つの放物線とは接している。 ただし、つの曲線が接するとは、ある共有点において共通の接線をもつことであり、その共有点を接点という。 との接点の座標をとを用いて表せ。 との接点が動く…