問題 とする。定点からの距離の積がに等しい点の軌跡をレムニスケートという。 レムニスケートの方程式は，次の式で与えられることを示せ。 レムニスケートの極方程式を求め，のときの概形をコンピュータで描け。 解答 点の座標をとする。 の満たす条件は す…

問題 中心が第象限にあって，軸，軸および直線に接する円の方程式を求めよ。 解答 中心が第象限にあって，軸，軸に接することから，求める円の半径をとすると、円の方程式は と表される。 とすると，直線が円に接するための条件は，円の中心と直線の距離が円…

問題 原点をつの頂点とする平行四辺形があり，直線は，直線はで表されている。このとき，平行四辺形の面積を求めよ。 解答 とする。はの交点で，これらを連立して解くと，その座標は また，を通り，に平行な直線の方程式は となる。はの交点で，これらを連立…

問題 第 問 平面上で放物線と直線で囲まれた図形を，軸のまわりに回転してできる回転体をとおく。回転体に含まれる点のうち，平面上の直線からの距離が以下のもの全体がつくる立体をとおく。 をを満たす実数とする。平面上の点を通り，軸に直交する平面によ…

問題 第 問 を実数とする。次関数が を満たすとする。 のとりうる値の範囲を求めよ。 放物線の頂点の座標のとりうる値の範囲を求めよ。 放物線の頂点の座標がのとき，放物線と軸で囲まれた部分の面積を求めよ。 解答 より 点が満たすこの領域のつの頂点の座…

問題 第 問 を自然数とし，不等式 を考える。次の問いに答えよ。ただし，であること，が無理数であることを用いてよい。 不等式を満たしである自然数に対して であることを示せ。 不等式を満たす自然数の組のうち，であるものをすべて求めよ。 解答 だから …

問題 第 問 複素数はを満たし，実部と虚部がともに正であるものとする。硬貨を投げて表が出れば，裏が出ればとし，回投げて出た順にとおく。複素数をと定める。 回とも表が出たとする。の値を求めよ。 のとき，であることを示せ。 である確率を求めよ。 解答…

問題 第 問 双曲線上の点を考える。 点におけるの接線と直線の交点をとするとき，の座標をとを用いてあらわせ。 点におけるの接線と直線の交点をとするとき，の座標をとを用いてあらわせ。 点におけるの接線と直線の交点をとするとき，点は一直線上にあるこ…

問題 第 問 を自然数とする。個の箱すべてに，の種類のカードがそれぞれ枚ずつ計枚入っている。各々の箱から枚ずつカードを取り出し，取り出した順に左から並べて桁の数を作る。このとき，がで割り切れる確率を求めよ。 解答 桁の数がで割り切れるときの確率…

問題 第 問 とする。の範囲で曲線，直線，直線によって囲まれた部分の面積をとする。このとき，の最小値を求めよ。 （ここで「囲まれた部分」とは，上の曲線または直線のうちつ以上で囲まれた部分を意味するものとする。） 解答 より だから より だから の…

問題 第 問 は鋭角三角形であり，であるとする。またの外接円の半径はであるとする。 の内心をとするとき，を求めよ。 の内接円の半径の取りうる値の範囲を求めよ。 解答 で正弦定理より だから で正弦定理より だから より だから よって また よって は鋭…

問題 第 問 を自然数，を を満たす実数とする。このとき を満たすの組をすべて求めよ。 解答 のとき より （は整数） に代入して より だから となり，は自然数にならない。 のとき だから，整理して とより だから よって は整数だから のときのときのとき …

問題 第 問 四面体を考える。点は，それぞれ辺上にあり，頂点ではないとする。このとき，次の問いに答えよ。 とが平行ならばであることを示せ。 が正八面体の頂点となっているとき，これらの点はの各辺の中点であり，は正四面体であることを示せ。 解答 とす…

問題 第 問 をでない複素数，をを満たす実数とする。 実数はを満たす定数とする。が絶対値の複素数全体を動くとき，平面上の点の軌跡を求めよ。 実数はを満たす定数とする。が偏角の複素数全体を動くとき，平面上の点の軌跡を求めよ。 解答 より とおける。 …

問題 白玉個，赤玉個が入っている袋から，玉を個取り出し，それを袋に戻さないで，続いてもう個取り出す。番目に取り出した玉が赤玉であるとき，最初に取り出した玉も赤玉である確率を求めよ。 解答 番目に取り出した玉が赤玉である事象を，番目に取り出した…

問題 第 問 点を原点とする座標空間内で，一辺の長さがの正三角形を動かす。また，点に対して，をとおく。ただしとする。 点がにあるとき，点の座標がとりうる値の範囲と，がとりうる値の範囲を求めよ。 点が平面上を動くとき，辺が通過しうる範囲をとする。…

問題 第 問 を実数とし，座標平面上で次のつの放物線の共通接線について考える。 直線が共通接線であるとき，を用いてとを表せ。ただしとする。 傾きがの共通接線が存在するようにの値を定める。このとき，共通接線が本存在することを示し，それらの傾きと切…

問題 第 問 とおき，自然数に対して と定める。以下の問いに答えよ。ただし設問は結論のみを書けばよい。 の値を求めよ。 とする。積を，とを用いて表せ。 は自然数であることを示せ。 との最大公約数を求めよ。 解答 数学的帰納法を用いて証明する。 のとき…

問題 第 問 複素数平面上の原点以外の点に対して，とする。 をでない複素数とし，点と原点を結ぶ線分の垂直二等分線をとする。点が直線上を動くとき，点の軌跡は円から点を除いたものになる。この円の中心と半径を求めよ。 の乗根のうち，虚部が正であるもの…

問題 第 問 座標平面上で座標と座標がいずれも整数である点を格子点という。格子点上を次の規則に従って動く点を考える。 最初に，点は原点にある。 ある時刻で点が格子点にあるとき，その秒後の点の位置は，隣接する格子点のいずれかであり，また，これらの…

問題 第 問 実数に対して とし，で定義された関数 を考える。 とをの整式で表せ。 がの範囲で最小値をとるためのについての条件を求めよ。また，条件をみたす点が描く図形を座標平面上に図示せよ。 解答 のとき だから のとき，すなわちのとき 開区間で，単…