問題 第 問 空間に点をとる。また、点は線分上を動き、とする。このとき、次の問いに答えよ。 点の座標をを用いて表せ。 点から線分に下ろした垂線をとする。点の座標を求めよ。また、線分の長さを求めよ。 点は平面上にあり、とする。さらに、直線と直線は…

問題 第 問 次のに適する数または式を、解答用紙の同じ記号の付いたの中に記入せよ。 を虚数単位とし、とおく。の偏角をの範囲で求めると、である。このを用いて、複素数をにより定める。このとの間の関係式をと変形する。ここで、であり、の虚部の値はであ…

問題 第 問 次のに適する数または式を、解答用紙の同じ記号の付いたの中に記入せよ。 は以上の自然数とし、さいころを回続けて投げる試行を考える。回目にの目が出て、の目が出た回数がちょうど回である確率はである。次に、回目までに出た個の目の積が偶数…

問題 第 問 原点をとする座標平面上において、点および軸上の正の部分を動く点があり、は鈍角ではないとする。の垂心を、頂点から辺に下ろした垂線と辺との交点を、頂点から辺に下ろした垂線と辺との交点をとする。次の問いに答えよ。ただし、三角形の各頂点…

問題 第 問 を虚数単位とし、複素数に対して、 とおく。次の問いに答えよ。 の実部がとなる複素数全体を複素数平面上に図示せよ。 を満たす複素数の個数は個であることを証明し、それぞれをは実数の形に書き表せ。 で求めた二つの複素数のうち実部の大きい方…

問題 第 問 関数は実数全体で連続で、すべての実数に対して を満たすとする。ただし、は自然対数の底である。次の問いに答えよ。 の値を求めよ。また、が成り立つことを示せ。 を求めよ。 方程式は、の範囲にただ一つの解をもつことを示せ。 のただ一つの解…

問題 第 問 箱の中にからまでの数が一つずつ書かれた枚のカードが入っている。ただし、を以上の自然数とする。「カードをよく混ぜて枚取り出し、そのカードに書かれた数を読み取り、そのカードをもとに戻す」という試行を回繰り返す。回目、回目、回目および…

問題 第 問 とし、数列を初項、公比の等比数列とする。また、数列は次のように定義される。 次の問いに答えよ。 をおよびを用いて表せ。 一般項が である数列は等差数列であることを証明せよ。 で与えられた数列の初項から第項までの平均をとする。すなわち…