問題 の人が，それぞれ，は枚の硬貨を，は枚の硬貨を持っている。個のさいころを投げて，奇数の目が出ると，がに枚の硬貨を渡し，偶数の目が出ると，がに枚の硬貨を渡すものとする。さいころを回続けて投げたとき，ともに，同じ枚数の硬貨を持っている確率を…

問題 の人の名刺が，枚ずつ別々の封筒に入れてある。この人が，それぞれ別々の封筒をつ選ぶとき，次の確率を求めよ。 人とも自分の名刺が入った封筒を選ぶ確率 人とも他人の名刺が入った封筒を選ぶ確率 解答 人の封筒の選び方は，全部で通りあり，どの場合も…

問題 個のさいころを同時に投げるとき，次の確率を求めよ。 出る目の最大値が以下である確率 出る目の最大値がである確率 解答 のどれかが出る確率だから 出る目の最大値が以下である確率は，のように考えて よって，出る目の最大値がであるのは，のうちを除…

問題 次の問いに答えよ。 人をつの部屋に入れる方法は何通りあるか。ただし，人全員が同じ部屋に入ってもよいものとする。 人をつの部屋に入れる方法は何通りあるか。ただし，各部屋には少なくとも人は入るものとする。 人をつのグループに分ける方法は何通…

問題 個の数字を重複なく使ってできる桁の数を，小さい方から順に並べる。 初めて以上になるのは，何番目か。 番目の数を求めよ。 解答 未満の数の数を求める。 千の位がである数は （通り） よって，番目 千の位がである数は （通り） これとより，初めて以…

問題 第 問 を座標とする空間において、平面内の曲線 を軸のまわりに回転させるとき、この曲線が通過した部分よりなる図形をとする。このをさらに軸のまわりに回転させるとき、が通過した部分よりなる立体をとする。このとき、の体積を求めよ。 解答 はで、 …

問題 第 問 縦個、横個のマス目のそれぞれにの数字を入れていく。このマス目の横の並びを行といい、縦の並びを列という。どの行にも、どの列にも同じ数字が回しか現れない入れ方は何通りあるか求めよ。下図はこのような入れ方の例である。 解答 行目をの順に…

問題 第 問 正の整数に対して、 は整数ではで割り切れない の形に書いたとき、と定める。例えば、である。 は整数で、次の条件を満たすとする。 はで割り切れない。 このようなについて とするとき、 の最大値を求めよ。また、の最大値を与えるようなをすべ…

問題 第 問 を正の整数とする。座標空間において、原点を中心とする半径の球面上の点が次の関係式を満たしている。 このとき、の値を求めよ。ただし、座標空間の点に対して、は、との内積を表す。 解答 題意より、（ア） また、 同様にして、（イ） （ウ） …

問題 第 問 を正の整数とする。はに関する方程式のつの解で、であるとする。 すべての正の整数に対し、は整数であり、さらに偶数であることを証明せよ。 極限を求めよ。 解答 解と係数の関係より、 「は整数であり、さらに偶数である。」 これを数学的帰納法…

問題 第 問 は実数で、とする。に関する方程式 はつの相異なる解をもち、それらは複素数平面上で一辺の長さがの正三角形の頂点となっているとする。このとき、とのつの解を求めよ。 解答（別解） をの解とすると、 をの共役複素数とすると、は実数だから、 …

問題 第 問 は実数で、とする。に関する方程式 はつの相異なる解をもち、それらは複素数平面上で一辺の長さがの正三角形の頂点となっているとする。このとき、とのつの解を求めよ。 解答（別解） をの解とすると、 をの共役複素数とすると、は実数だから、 …

問題 第 問 は実数で、とする。に関する方程式 はつの相異なる解をもち、それらは複素数平面上で一辺の長さがの正三角形の頂点となっているとする。このとき、とのつの解を求めよ。 解答 をの解とすると、 をの共役複素数とすると、は実数だから、 よって、…

問題 のとき，次の不等式が成り立つことを証明せよ。 解答 より，だから 各辺にをたすと、 よって、 （終） 両辺の平方の差を考えると ここで より よって で，よりだから （終） ブログ全体の目次（過去の記事の一覧）

問題 のとき，を小さい方から順に並べよ。 解答 より だから に代入して より よって よって，小さい方から順に ブログ全体の目次（過去の記事の一覧）

問題 次の等式，不等式を証明せよ。 解答 よって （証明終） だから、より よって （証明終） ブログ全体の目次（過去の記事の一覧）

問題 のとき，次の等式が成り立つことを証明せよ。 解答 とおくと これらより よって （終） ブログ全体の目次（過去の記事の一覧）

問題 等式が，のどのような値に対しも成り立つように，の値を定めよ。 解答 について整理すると この等式がの恒等式になるのは のときである。これらを連立して解くと ブログ全体の目次（過去の記事の一覧）

問題 整数がを満たすとき、のうち少なくともつは偶数であることを証明せよ。 解答 背理法で証明する。 整数がいずれも偶数ではない、すなわち奇数であると仮定すると、 は整数 と表される。これらをに代入すると、 これを展開して整理すると、 となる。左辺…

問題 は実数とする。次の命題の真偽を調べ、真である場合には証明し、偽である場合には反例をあげよ。 がともに無理数ならば、は無理数である。 がともに無理数ならば、の少なくとも一方は無理数である。 がともに無理数ならば、の少なくとも一方は無理数で…

問題 を正の定数として、次の不等式を考える。 不等式の解を求めよ。 のとき、不等式を満たす整数は何個存在するか。 不等式を満たす整数がちょうど個存在するようなの値の範囲を求めよ。 解答 だから、から 各辺にを加えて、 各辺をで割って、 にを代入する…

問題 方程式を解け。 解答 のとき、 であるから 方程式は これを解くと、 これは、を満たす。 のとき、 であるから 方程式は これを解くと、 これは、を満たす。 のとき、 であるから 方程式は これを解くと、 これは、を満たさない。 から、求める解は ブロ…

問題 の整数部分を、小数部分をとする。との値を求めよ。 解答 より、だから、 ブログ全体の目次（過去の記事の一覧）

問題 次の問いに答えよ。 を計算せよ。 の分母を有理化せよ。 解答 ブログ全体の目次（過去の記事の一覧）

問題 次の問いに答えよ。 を展開せよ。 を因数分解せよ。 解答 ブログ全体の目次（過去の記事の一覧）

問題 のとき、の値を求めよ。 解答 よって、 これにを代入して ブログ全体の目次（過去の記事の一覧）

問題 次の式を因数分解せよ。 解答 ブログ全体の目次（過去の記事の一覧）

問題 次の式を計算せよ。 解答 ブログ全体の目次（過去の記事の一覧）

問題 第 問 を実数として、とおく。また、曲線上の点における接線をとする。このとき、次の問いに答えよ。ただし、必要ならばであることを証明なしに用いてよい。 関数の増減を調べ、その極値を求めよ。 接線の方程式を求めよ。 のとき、が曲線に接するよう…

問題 第 問 数列と、その初項から第項までの和は、次の条件を満たしている。 このとき、次の問いに答えよ。 の値を求めよ。 は、ある既約な分数式を用いてと表される。このとき、を求めよ。 定数はとする。で求めたに対して、分数式は条件を満たす。このとき…