問題 次方程式が重解をもつとき，定数の値を求めよ。また，他の解を求めよ。 解答 が解であるから よって これを与えられた方程式に代入して が解であることから，左辺はを因数にもつから とすると， もを解にもつから よって より また，をに代入して これ…

問題 のとき，次の問いに答えよ。 であることを示せ。 の結果を用いて，の値を求めよ。 解答 から 両辺を乗して 展開して整理すると とする。 をで割ると，商は，余りはだから を代入すると，から ブログ全体の目次（過去の記事の一覧）

問題 整式をで割ると余りが，で割ると余りがである。をで割ったときの余りを求めよ。 解答 を次式で割ったときの商を，余りをとすると，次の等式が成り立つ。 をで割った余りがだから，このときの商をとすると，次の等式が成り立つ。 ゆえに また，をで割っ…

問題 つの放物線のつの共有点の座標を求めよ。 解答 とする。からを消去すると すなわち これを解くと から のとき ，のとき よって，共有点の座標は ブログ全体の目次（過去の記事の一覧）

問題 次方程式が次のような実数解をもつように，定数の値の範囲を求めよ。 異なるつの正の解 正の解と負の解 解答 とすると よって，のグラフは下に凸の放物線で，軸はである。 この次方程式が異なるつの正の解をもつのは，このグラフが軸の正の部分と異なる…

問題 とする。つの方程式について，次の問いに答えよ。 つの方程式がともに実数解をもつように，定数の値の範囲を定めよ。 つの方程式の少なくとも一方が実数解をもつように，定数の値の範囲を定めよ。 解答 つの方程式はでともに次方程式だから，の判別式を…

問題 関数について，の範囲での値が常に負となるように，定数の値の範囲を定めよ。 解答 このグラフは下に凸の放物線で，軸がの変域の中央より左にあるから，の変域の右端のでの値が負となれば，の変域での値が常に負となる。よって これを解くと より ブロ…

問題 次関数がある。 この次関数の最小値を，の式で表せ。 の値を変化させて，における最小値が最も大きくなるときのの値と，そのときのの値を求めよ。 解答 このグラフは下に凸の放物線だから，で最小となり，最小値は このグラフは上に凸の放物線だから で…

問題 は定数とする。関数について，次の問いに答えよ。 最小値を求めよ。 最大値を求めよ。 解答 とする。変形すると よって のグラフは下に凸の放物線で，軸は ，頂点は また の変域 の幅はで一定であり，中央の値は の変域が軸より左にあるとき，すなわち …

問題 関数の最小値がであるとき，定数の値を求めよ。 解答 のとき で最小値となればよい。 より だから より のとき で最小値となればよい。 より これは を満たす。 のとき で最小値となればよい。 より だから これは を満たさない。 より ブログ全体の目…

問題 複素数平面上で点を頂点とするの外側に，右の図（図は省略）のように，を辺とする正方形をつ作る。点を結ぶ線分の中点をとするとき，次のことを示せ。 は直角二等辺三角形である。 解答 点は，点を点を中心としてだけ回転して，倍すると得られるから 点…

問題 複素数平面上で，を表す点をそれぞれとする。このとき，次の問いに答えよ。 を辺とする正三角形の，頂点を表す複素数を求めよ。 で求めたに対して，を辺とする平行四辺形の，頂点を表す複素数を求めよ。 解答 点が表す複素数をとする。 点は，点を点を…

問題 平面上の異なるつの定点と任意の点に対し，とする。次のベクトル方程式はどのような図形を表すか。 解答 より だから より よって，点は点を中心とする半径の円を表す。 より より よって のとき のとき はと一致する。 したがって，点は点を通るの垂線…

問題 に対して，点が次の条件を満たしながら動くとき，点の存在範囲を求めよ。 解答 平行四辺形を考える。 とすると となる点を線分上にとり，となる点を線分上にとると となり，点は線分上を動く。 また，がからまで変化すると，点は点から点まで動くから，…

演習問題Bの5（p.46，数学B，数研） 問題 の外心をとし，辺の中点を，の重心をとする。ならばであることを証明せよ。 解答 とする。 したがって ここで，点はの外心だから より さらに，だから，より よって， ゆえに， （証明終） ブログ全体の目次（過去の…

問題 とする。 内積を求めよ。 を最小にする実数の値とその最小値を求めよ。 のに対して，とは垂直であることを確かめよ。 解答 より より ゆえに よって は のとき最小値 をとる。 だから，このとき も最小となる。 したがって のとき最小値 よって ブログ…

問題 第 問 平面上で放物線と直線で囲まれた図形を，軸のまわりに回転してできる回転体をとおく。回転体に含まれる点のうち，平面上の直線からの距離が以下のもの全体がつくる立体をとおく。 をを満たす実数とする。平面上の点を通り，軸に直交する平面によ…

問題 第 問 を実数とする。次関数が を満たすとする。 のとりうる値の範囲を求めよ。 放物線の頂点の座標のとりうる値の範囲を求めよ。 放物線の頂点の座標がのとき，放物線と軸で囲まれた部分の面積を求めよ。 解答 より 点が満たすこの領域のつの頂点の座…

問題 第 問 を自然数とし，不等式 を考える。次の問いに答えよ。ただし，であること，が無理数であることを用いてよい。 不等式を満たしである自然数に対して であることを示せ。 不等式を満たす自然数の組のうち，であるものをすべて求めよ。 解答 だから …

問題 第 問 複素数はを満たし，実部と虚部がともに正であるものとする。硬貨を投げて表が出れば，裏が出ればとし，回投げて出た順にとおく。複素数をと定める。 回とも表が出たとする。の値を求めよ。 のとき，であることを示せ。 である確率を求めよ。 解答…

問題 第 問 双曲線上の点を考える。 点におけるの接線と直線の交点をとするとき，の座標をとを用いてあらわせ。 点におけるの接線と直線の交点をとするとき，の座標をとを用いてあらわせ。 点におけるの接線と直線の交点をとするとき，点は一直線上にあるこ…

問題 のとき，次の不等式が成り立つことを証明せよ。 解答 より，だから よって ゆえに （終） 両辺の平方の差を考えると ここで より よって で，よりだから （終） ブログ全体の目次（過去の記事の一覧）

問題 のとき，を小さい方から順に並べよ。 解答 より だから に代入して より よって よって，小さい方から順に ブログ全体の目次（過去の記事の一覧）

問題 次の等式，不等式を証明せよ。 解答 よって （終） より だから よって （終） ブログ全体の目次（過去の記事の一覧）

問題 のとき，次の等式が成り立つことを証明せよ。 解答 とおくと これらより よって （終） ブログ全体の目次（過去の記事の一覧）

問題 等式が，のどのような値に対しも成り立つように，の値を定めよ。 解答 について整理すると この等式がの恒等式になるのは のときである。これらを連立して解くと ブログ全体の目次（過去の記事の一覧）

2020年度東京大学入試問題 数学(理系) 第1問 第2問 第3問 第4問 第5問 第6問 2020年度京都大学入試問題 数学(理系) 第1問 第1問別解1 第1問別解2 第2問 第3問 第4問 第5問 第6問 2020年度同志社大学入試問題 数学(理系) 第1問(1) 第1問(2) 第2問 第3問 第4問…