第 問 半径の球面上の点は、正方形を底面とする四角錐をなしている。この点が球面上を動くとき、四角錐の体積の最大値を求めよ。 解答 半径の球面をとする。 点は、正方形だから同一平面上にあり、図形の対称性よりこの平面をとしてよい。 この球面と平面の…

第 問 つのさいころを回続けて投げ、出た目を順にとする。このとき次の条件をみたす確率をを用いて表せ。ただしとしておく。 条件：をみたすのうち、かつが成立するようなの値はただつである。 解答 さいころを回投げると、以下の目か以上の目のいずれかが出…

第 問 鋭角三角形を考え、その面積をとする。をみたす実数に対し、線分をに内分する点を、線分をに内分する点をとする。実数がこの範囲を動くときに点の描く曲線と、線分によって囲まれる部分の面積をを用いて表せ。 解答 は鋭角だから、で、とする。 すると…

第 問 とする。とがともに素数となる整数をすべて求めよ。 解答 が偶数のとき、は整数)とすると、は偶数である。は連続する整数だから、いずれか一方は偶数である。よって、との一方は偶数の素数である。偶数の素数はのみである。 そこで、すなわちとなるを…

第 問 次の各問に答えよ。 問 次の定積分の値を求めよ。 解答 問 ここで とおくと となり が のとき は （与式） ブログ全体の目次（過去の記事の一覧）

第 問 次の各問に答えよ。 問 とする。は有理数ではないが、とがともに有理数となるようなの値を求めよ。ただし、が素数のとき、が有理数でないことは証明なしに用いてよい。 解答 問 より ここで とすると となり とがともに有理数だから が有理数となり矛…