高校数学の解き方

高校数学の教科書や大学入試の問題を解いてみます。簡潔で分かりやすい解答で、模範解答に近いものを目指します。

数学(理系)の第2問(2017東京大学入試)

問題

          第 2 問

 座標平面上で\; x\; 座標と\; y\; 座標がいずれも整数である点を格子点という。格子点上を次の規則に従って動く点\; \mathrm{P}\; を考える。

   (a)\; \; 最初に,点\; \mathrm{P}\; は原点\; \mathrm{O}\; にある。

   (b)\; \; ある時刻で点\; \mathrm{P}\; が格子点\; (m,\; \; n)\; にあるとき,その\; 1\; 秒後の点\; \mathrm{P}\; の位置は,隣接する格子点\; (m+1,\; \; n),\; \; (m,\; \; n+1),\; \; (m-1,\; \; n),\; \; (m,\; \; n-1)\; のいずれかであり,また,これらの点に移動する確率は,それぞれ\displaystyle \; \frac{1}{4}\; である。

(1)\; \; \; \mathrm{P}\; が,最初から\; 6\; 秒後に直線\; y=x\; 上にある確率を求めよ。

(2)\; \; \; \mathrm{P}\; が,最初から\; 6\; 秒後に原点\; \mathrm{O}\; にある確率を求めよ。

解答

(1)\; \; 直線\; y=x\; \; x\; 軸方向に\; \pm \; 1\; ずつ平行移動したものを順に並べると

\cdots ,\; \; y=x+2,\; \; y=x+1,\; \;y=x,\; \; y=x-1,\; \; y=x-2,\; \; \cdots

となる。

ある時刻で点\; \mathrm{P}\; がある直線上にあるとき,その\; 1\; 秒後の点\; \mathrm{P}\; の位置は,隣接する直線,つまり左隣または右隣の直線のどちらかであり,それらに移動する確率は,それぞれ\displaystyle \; \frac{1}{2}\; である。 

原点 \; \mathrm{O}\; にある,つまり直線\; y=x\; 上にある点\; \mathrm{P}\; が,\; 6\; 秒後に直線\; y=x\; 上に戻るには,直線を左隣に\; 3\; 回,右隣に\; 3\; 回移動することになる。よって求める確率は

    {}_6 \mathrm{C}_3 \displaystyle \left( \frac{1}{2} \right)^3 \left( \frac{1}{2} \right)^3 = \frac{5}{16}

(2)\; \; 直線\; y=-x\; \; x\; 軸方向に\; \pm \; 1\; ずつ平行移動したものを順に並べると、

\cdots ,\; \; y=-x-2,\; \; y=-x-1,\; \;y=-x,\; \; y=-x+1,\; \; y=-x+2,\; \; \cdots

となる。

(1)\; \; と同様にして,隣接する直線に移動する確率は,それぞれ\displaystyle \; \frac{1}{2}\; である。直線\; y=-x\; 上にある点\; \mathrm{P}\; が,\; 6\; 秒後に直線\; y=-x\; 上に戻る確率も同様に \displaystyle \frac{5}{16}\; である。

ここで,\; 1\; 回の移動で右隣の直線に移動する事象を\; \mathrm{A}\; とすると,その確率は\displaystyle \; \mathrm{P}(\mathrm{A})=\frac{1}{2}\;

 (1)\; についても,同様の事象を\; \mathrm{B}\; とすると,その確率は\displaystyle \; \mathrm{P}(\mathrm{B})=\frac{1}{2}\;

格子点\; (m,\; \; n)\; から隣接する格子点\; (m+1,\; \; n)\; に移動する確率は,\displaystyle \; \mathrm{P}(\mathrm{A}\cap \mathrm{B})=\frac{1}{4}\; である。

よって \mathrm{P}(\mathrm{A}\cap \mathrm{B})=\mathrm{P}(\mathrm{A})\mathrm{P}(\mathrm{B})\; だから,事象\; \mathrm{A}\; \; \mathrm{B}\; は独立である。また,他の格子点についても同様。

したがって条件\; (b)\; の移動は,これら独立な事象の繰り返しによっておこなわれる。

ゆえに,点\; \mathrm{P}\; が,最初から\; 6\; 秒後に原点\; \mathrm{O}\; にあるのは,直線\; y=x\; 上および直線\; y=-x\; 上に戻ることだから,求める確率は

   \displaystyle \frac{5}{16} \times \frac{5}{16} =\frac{25}{256}\;

 

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