数学(理系)の第2問（2017東京大学入試）

問題

　　　　　　　　　　第　 $2$ 　問

　座標平面上で $\; x\;$ 座標と $\; y\;$ 座標がいずれも整数である点を格子点という。格子点上を次の規則に従って動く点 $\; \mathrm{P}\;$ を考える。

　　　 $(a)\; \;$ 最初に，点 $\; \mathrm{P}\;$ は原点 $\; \mathrm{O}\;$ にある。

　　　 $(b)\; \;$ ある時刻で点 $\; \mathrm{P}\;$ が格子点 $\; (m,\; \; n)\;$ にあるとき，その $\; 1\;$ 秒後の点 $\; \mathrm{P}\;$ の位置は，隣接する格子点 $\; (m+1,\; \; n),\; \; (m,\; \; n+1),\; \; (m-1,\; \; n),\; \; (m,\; \; n-1)\;$ のいずれかであり，また，これらの点に移動する確率は，それぞれ $\displaystyle \; \frac{1}{4}\;$ である。

$(1)\; \;$ 点 $\; \mathrm{P}\;$ が，最初から $\; 6\;$ 秒後に直線 $\; y=x\;$ 上にある確率を求めよ。

$(2)\; \;$ 点 $\; \mathrm{P}\;$ が，最初から $\; 6\;$ 秒後に原点 $\; \mathrm{O}\;$ にある確率を求めよ。

解答

$(1)\; \;$ 直線 $\; y=x\;$ を $\; x\;$ 軸方向に $\; \pm \; 1\;$ ずつ平行移動したものを順に並べると

$\cdots ,\; \; y=x+2,\; \; y=x+1,\; \;y=x,\; \; y=x-1,\; \; y=x-2,\; \; \cdots$

となる。

ある時刻で点 $\; \mathrm{P}\;$ がある直線上にあるとき，その $\; 1\;$ 秒後の点 $\; \mathrm{P}\;$ の位置は，隣接する直線，つまり左隣または右隣の直線のどちらかであり，それらに移動する確率は，それぞれ $\displaystyle \; \frac{1}{2}\;$ である。　

原点 $\; \mathrm{O}\;$ にある，つまり直線 $\; y=x\;$ 上にある点 $\; \mathrm{P}\;$ が， $\; 6\;$ 秒後に直線 $\; y=x\;$ 上に戻るには，直線を左隣に $\; 3\;$ 回，右隣に $\; 3\;$ 回移動することになる。よって求める確率は

　　　 ${}_6 \mathrm{C}_3$ $\displaystyle \left( \frac{1}{2} \right)^3 \left( \frac{1}{2} \right)^3 = \frac{5}{16}$

$(2)\; \;$ 直線 $\; y=-x\;$ を $\; x\;$ 軸方向に $\; \pm \; 1\;$ ずつ平行移動したものを順に並べると、

$\cdots ,\; \; y=-x-2,\; \; y=-x-1,\; \;y=-x,\; \; y=-x+1,\; \; y=-x+2,\; \; \cdots$

となる。

$(1)\; \;$ と同様にして，隣接する直線に移動する確率は，それぞれ $\displaystyle \; \frac{1}{2}\;$ である。直線 $\; y=-x\;$ 上にある点 $\; \mathrm{P}\;$ が， $\; 6\;$ 秒後に直線 $\; y=-x\;$ 上に戻る確率も同様に　 $\displaystyle \frac{5}{16}\;$ である。

ここで， $\; 1\;$ 回の移動で右隣の直線に移動する事象を $\; \mathrm{A}\;$ とすると，その確率は $\displaystyle \; \mathrm{P}(\mathrm{A})=\frac{1}{2}\;$

$(1)\;$ についても，同様の事象を $\; \mathrm{B}\;$ とすると，その確率は $\displaystyle \; \mathrm{P}(\mathrm{B})=\frac{1}{2}\;$

格子点 $\; (m,\; \; n)\;$ から隣接する格子点 $\; (m+1,\; \; n)\;$ に移動する確率は， $\displaystyle \; \mathrm{P}(\mathrm{A}\cap \mathrm{B})=\frac{1}{4}\;$ である。

よって　 $\mathrm{P}(\mathrm{A}\cap \mathrm{B})=\mathrm{P}(\mathrm{A})\mathrm{P}(\mathrm{B})\;$ だから，事象 $\; \mathrm{A}\;$ と $\; \mathrm{B}\;$ は独立である。また，他の格子点についても同様。