数学(理系)の第2問（2024京都大学入試）

問題

　　　　　　　　　　第　 $2$ 　問

　 $\; | \; x \; | \leqq 2 \;$ を満たす複素数 $\; x \;$ と、 $\; | \; y-(8+6 \; i) \; | =3 \;$ を満たす複素数 $\; y \;$ に対して、 $\displaystyle \; z= \frac{x+y}{2} \;$ とする。このような複素数 $\; z \;$ が複素数平面において動く領域を図示し、その面積を求めよ。

解答

$\displaystyle \; z= \frac{x+y}{2} \;$ より、 $\; x=2z-y \;$

これを $\; | \; x \; | \leqq 2 \;$ に代入して変形すると、 $\displaystyle \; \Big| \; z- \frac{y}{2} \; \Big| \leqq 1 \;$

よって、 $\; z \;$ は、中心 $\displaystyle \; \frac{y}{2} \;$ 、半径 $\; 1 \;$ の円周上や内部にあることがわかる。この円を円 $\; \mathrm{C} \;$ とする。

また、 $\; | \; y-(8+6 \; i) \; | =3 \;$ より、 $\displaystyle \; \Big| \; \frac{y}{2} -(4+3 \; i) \; \Big| = \frac{3}{2} \;$

よって、円 $\; \mathrm{C} \;$ の中心 $\displaystyle \; \frac{y}{2} \;$ は、中心 $\displaystyle \; 4+3 \; i \;$ 、半径 $\displaystyle \; \frac{3}{2} \;$ の円周上を動く。

$\; 2 \;$ つの円の半径の関係から、 $\displaystyle \; \frac{3}{2} +1= \frac{5}{2}, \; \; \; \frac{3}{2} -1= \frac{1}{2} \;$

だから、点 $\displaystyle \; 4+3 \; i \;$ と円 $\; \mathrm{C} \;$ 上の最も遠い点との距離は $\displaystyle \; \frac{5}{2} \;$ 、最も近い点との距離は $\displaystyle \; \frac{1}{2} \;$ である。

以上のことより、複素数 $\; z \;$ の動く領域は、中心 $\displaystyle \; 4+3 \; i \;$ 、半径 $\displaystyle \; \frac{5}{2} \;$ の円の内部と円周上から、同じ中心で半径 $\displaystyle \; \frac{1}{2} \;$ の円の内部を除いたドーナツ型となる。（図は省略）

その面積は、

$\displaystyle \; \pi \times \left( \frac{5}{2} \right)^2 - \pi \times \left( \frac{1}{2} \right)^2=6 \pi \;$