数学(理系)の第3問（2024京都大学入試）

問題

　　　　　　　　　　第　 $3$ 　問

　座標空間の $\; 4 \;$ 点 $\; \mathrm{O}, \; \; \mathrm{A}, \; \; \mathrm{B}, \; \; \mathrm{C} \;$ は同一平面上にないとする。線分 $\; \mathrm{OA} \;$ の中点を $\; \mathrm{P} \;$ 、線分 $\; \mathrm{AB} \;$ の中点を $\; \mathrm{Q} \;$ とする。実数 $\; x, \; \; y \;$ に対して、直線 $\; \mathrm{OC} \;$ 上の点 $\; \mathrm{X} \;$ と、直線 $\; \mathrm{BC} \;$ 上の点 $\; \mathrm{Y} \;$ を次のように定める。

　　　 $\; \overrightarrow{\mathrm{OX}} =x \; \overrightarrow{\mathrm{OC}}, \; \; \; \; \overrightarrow{\mathrm{BY}} =y \; \overrightarrow{\mathrm{BC}} \;$

このとき、直線 $\; \mathrm{QY} \;$ と直線 $\; \mathrm{PX} \;$ がねじれの位置にあるための $\; x, \; \; y \;$ に関する必要十分条件を求めよ。

解答

次のベクトルを $\; \overrightarrow{\mathrm{OA}}, \; \; \overrightarrow{\mathrm{OB}}, \; \; \overrightarrow{\mathrm{OC}} \;$ で表すと、

$\displaystyle \; \overrightarrow{\mathrm{PX}} = - \frac{1}{2} \; \overrightarrow{\mathrm{OA}}+x \; \overrightarrow{\mathrm{OC}}, \; \; \; \overrightarrow{\mathrm{PY}} = - \frac{1}{2} \; \overrightarrow{\mathrm{OA}}+(1-y) \; \overrightarrow{\mathrm{OB}}+ y \; \overrightarrow{\mathrm{OC}}, \; \; \; \overrightarrow{\mathrm{PQ}} = \frac{1}{2} \; \overrightarrow{\mathrm{OB}} \;$

これらの式をまとめて $\; (\ast) \;$ とおく。

ここで、「直線 $\; \mathrm{QY} \;$ と直線 $\; \mathrm{PX} \;$ がねじれの位置にある」とは、「直線 $\; \mathrm{QY} \;$ と直線 $\; \mathrm{PX} \;$ が平行でなく、かつ交わらない」ことだから、「 $\; 4 \;$ 点 $\; \mathrm{P}, \; \; \mathrm{Q}, \; \; \mathrm{X}, \; \; \mathrm{Y} \;$ が同一平面上にない」ことと同値である。

その否定は、「 $\; 4 \;$ 点 $\; \mathrm{P}, \; \; \mathrm{Q}, \; \; \mathrm{X}, \; \; \mathrm{Y} \;$ が同一平面上にある」ことである。

このときの必要十分条件を求める。

$\; \overrightarrow{\mathrm{PY}} =s \; \overrightarrow{\mathrm{PX}} +t \; \overrightarrow{\mathrm{PQ}} \;$

と表せる。これに $\; (\ast) \;$ を代入して整理すると、

$\displaystyle \; - \frac{1}{2} \; \overrightarrow{\mathrm{OA}}+(1-y) \; \overrightarrow{\mathrm{OB}}+ y \; \overrightarrow{\mathrm{OC}} =s \left( - \frac{1}{2} \; \overrightarrow{\mathrm{OA}}+x \; \overrightarrow{\mathrm{OC}} \right) +t \left( \frac{1}{2} \; \overrightarrow{\mathrm{OB}} \right) \;$

より、 $\displaystyle \; - \frac{1}{2} (1-s) \; \overrightarrow{\mathrm{OA}} + \left( 1-y- \frac{1}{2} t \right) \; \overrightarrow{\mathrm{OB}} +(y-sx) \; \overrightarrow{\mathrm{OC}} = \overrightarrow{0} \;$

$\; \overrightarrow{\mathrm{OA}}, \; \; \overrightarrow{\mathrm{OB}}, \; \; \overrightarrow{\mathrm{OC}} \;$ は $\; 1 \;$ 次独立だから、

$\displaystyle \; - \frac{1}{2} (1-s)=0, \; \; 1-y- \frac{1}{2} t=0, \; \; y-sx=0 \;$

これらの式から、 $\; s=1 \;$ で、 $\; x=y \;$ となる。

逆に、 $\; x=y \;$ のとき、 $\; (\ast) \;$ から、

$\displaystyle \; \overrightarrow{\mathrm{PX}} = - \frac{1}{2} \; \overrightarrow{\mathrm{OA}}+x \; \overrightarrow{\mathrm{OC}}, \; \; \; \overrightarrow{\mathrm{PY}} = - \frac{1}{2} \; \overrightarrow{\mathrm{OA}}+(1-x) \; \overrightarrow{\mathrm{OB}}+ x \; \overrightarrow{\mathrm{OC}}, \; \; \; \overrightarrow{\mathrm{PQ}} = \frac{1}{2} \; \overrightarrow{\mathrm{OB}} \;$

だから、 $\; \overrightarrow{\mathrm{PY}} = \; \overrightarrow{\mathrm{PX}} +2(1-x) \; \overrightarrow{\mathrm{PQ}} \;$ となり、「 $\; 4 \;$ 点 $\; \mathrm{P}, \; \; \mathrm{Q}, \; \; \mathrm{X}, \; \; \mathrm{Y} \;$ が同一平面上にある」

よって、「 $\; 4 \;$ 点 $\; \mathrm{P}, \; \; \mathrm{Q}, \; \; \mathrm{X}, \; \; \mathrm{Y} \;$ が同一平面上にある」ことの必要十分条件は $\; x=y \;$ である。

「 $\; 4 \;$ 点 $\; \mathrm{P}, \; \; \mathrm{Q}, \; \; \mathrm{X}, \; \; \mathrm{Y} \;$ が同一平面上にない」のは、この否定だから、その必要十分条件は $\; x \neq y \;$ である。すなわち、これは直線 $\; \mathrm{QY} \;$ と直線 $\; \mathrm{PX} \;$ がねじれの位置にあるための $\; x, \; \; y \;$ に関する必要十分条件である。